n又，h'(x)?0在x?1有唯一的极值点， 3分析可得：当
1?x?1时，h'(x)?0，h(x)为减函数， e当1?x?e时，h'(x)?0，h(x)为增函数， 故函数h(x)?x3?3lnx有最小值h(1)?1，
?1?1?1?3h??3h又由??，h(e)?e?3，比较得???h(e)， 3?e?e?e?故函数h(x)?x3?3lnx有最大值h(e)?e?3，
33故函数h(x)?x?3lnx在区间?,e?上的值域为[1,e?3]；
e3?1??1?????若方程a?1?x3?3lnx在区间?,e?上有解，必有1?a?1?e3?3，则有0?a?e3?4，
e即a的取值范围是[0,e?4].
3故选A.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22－23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
x2y213.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线的斜率为3，则此双曲线的离心率为
ab______________. 【答案】2. 【解析】 【分析】
根据离心率公式和渐近线方程，直接得到结果．
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【详解】由已知渐近线的斜率k?故答案为2.
bc?3，则离心率e??1?3?2. aa【点睛】本题考查了双曲线的性质和渐近线方程，属于基础题．
14.已知等比数列?an?前n项和为Sn，前n项积为Tn，若S3?a2?4a1,T5?243，则a1
的值为_____________。 【答案】1. 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质求出a3，再根据S3＝a2+4a1，求得公比，根据通项公式即可求出a1的值
2【详解】由已知，S3＝a1?a2?a3?a2?4a1，则a3?3a1，所以q?3. 52又T5?a1a2a3a4a5?a3?243，所以a3?a1q?3，a1?1.
故答案为1.
【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
515.已知(2?ax)(1?x)的展开式中x2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为_______。 【答案】32. 【解析】 【分析】
由题意可得展开式中x2的系数为前一项中常数项与后一项x的二次项乘积，加上第一项x的系数与第二项x的系数乘积的和，由此列方程求得a的值，再利用赋值法求得所有项的系数和．
【详解】?1?x?的展开式的通项公式为C5x，
rr215∴(2?ax)(1?x)的展开式中含x2项的系数为2C5?aC5＝15，
的5即a??1，
523456设(2?x)(1?x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x?a6x， 5令x?1得2?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?32.
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故答案为32.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式及赋值法是解决此类问题的关键．
16.已知14C的半衰期为5730年（是指经过5730年后,14C的残余量占原始量的一半）.设14C的原始量为a,经过x年后的残余量为b,残余量b与原始量a的关系如下:b?ae?kx,其中x表示经过的时间,k为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.（已知
log20.767??0.4）
【答案】2193 【解析】
由题意可知，当x?5730时，ae?5730k?1ln2a，解得k?. 25730现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%. 所以76.7%?e?5730x，得
ln2ln0.767??
ln2ln0.767x, x??5730???5730?log20.767?2292. 5730ln2三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝23，AC＝2，∠ADC＝∠CAB＝90°，设∠ACD＝?.
（1）若?＝60°，求BD的长度； （2）若∠ADB＝30°，求tan?的值
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【答案】（1）19；（2）【解析】
23 3试题分析：（1）第（1）问，在△ABD中，利用余弦定理直接求出BD.(2)第（2）问，在△ABD中，写出正弦定理再化简即得解. 试题解析：
（1）由题意可知，AD＝1．
在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝23，AD＝1，由余弦定理可知，
BD2＝(23)2＋12－2×23×1×(－BD＝19．
3)＝19, 2（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ， 在△ABD中，由正弦定理可知，
ADAB2cos?2?,??43,?tan??3. 0sin?ABDsin?ADBsin(60??)3
18.如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．
（1）证明：AP⊥平面PBC
（2）求二面角P—AB一C的余弦值 【答案】(1)见解析.(2) 【解析】 【分析】
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21. 7