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11

此时函数y＝g(x)在?－∞，a－2?上单调递减，在?a－2，＋∞?上单调递增．(3分)

????

②当a＝2时，g′(x)>0，y＝g(x)在R上单调递增．(4分) 1

③当a>2时，令g′(x)≥0，则(2－a)x＋1≥0，∴x≤，

a－21

令g′(x)<0，则(2－a)x＋1<0，∴x>，

a－2

11

此时函数y＝g(x)在?－∞，a－2?上单调递增，在?a－2，＋∞?上单调递减．(5分)

????

(2)∵f(x)＝ln(xe

（2－a）x

)－ax2＝ln x＋(2－a)x－ax2(x>0)，(6分)

(2x＋1)(ax－1)1

∴f′(x)＝＋(2－a)－2ax＝－，(7分)

xx

当a≤0时，f′(x)>0，函数在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个交点，故a>0.(8分) 11

当a>0时，令f′(x)≥0，则0.

aa

11

0，?上单调递增，在?，＋∞?上单调递减．(9分) 故y＝f(x)在??a??a?1

不妨设A(x1，m)，B(x2，m)，且0

a要证f′(x0)<0， 需证ax0－1>0， 1

即证x0>a

2

x1＋x2>a

2x2>－x1

a

2

－x1?，(10分) f(x2)

2?又f(x1)＝f(x2)，所以只需证f(x1)

即证：当0

a2?

xf??a－x?－f()>0.(11分)

2?

xax设F(x)＝f??a－x?－f()＝ln(2－ax)－ln()＋2ax－2(★)

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2(ax－1)a1

则F′(x)＝－－＋2a＝－<0，

2－axxx(2－ax)2?1

－x－f(x)在?0，?上单调递减，(12分) ∴F(x)＝f??a??a?1??21??1?又F??a?＝f?a－a?－f?a?＝0， 2?

x故F(x)＝f??a－x?－f()>0.(13分)

【注】如果学生在(★)式开始直接分析函数的单调性，得到函数为单调递减函数，再证明结论，也可给满分．

2

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