可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个可数补空间．
例2.3.8 对于实数集合R来说，我们可以定义五个拓扑，它们是平庸拓扑T t、离散拓扑T s、欧氏拓扑T e、有限补拓扑T
T
tf和可数补拓扑T c．它们的关系是：
? T
f? T c（T e）? T s
一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？
定义2.3.9 设（X，T ）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量?使得拓扑T 是由度量?诱导出来的拓扑，那么称（X，T ）是一个可度量化空间．
根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？由2.1节的习题2,3可以知道，事实上每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的．由此可见，拓扑空间比度量空间的范围要广泛。进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论。
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．受2.1节中的定理2.2.14的启发，我们能够给出下面定义：
定义2.3.10 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．如果Y中每一个开集U的原象f是X中的一个开集，那么就称f是从X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．
按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，保证了：当X和Y 是两个度量空间时，如果f:X?Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个连续映射，反之亦然。
下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．
定理2.3.11 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (1）恒同映射iX:X?X是一个连续映射；
(2）如果f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射，则g?f:X?Z也是连续映射． 证明:（l）如果U 是X的一个开集，则iX?1?1(U)(U)?U当然也是X的开集，所以iX连续．
?1g(W)(2）设f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射．如果W是Z的一个开集，由于g连续，
是Y 的开集；又由于f连续，所以f?1(g?1(W))是X的开集，因此
(g?f)?1(W)?f是X的开集．这证明g?f连续．
?1(g?1(W))
在数学科学的许多学科中都要涉及集合和映射，如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态．集合论中的一一映射，线性代数中的（线性）同构，群论中的群同构都是较为特殊的一类映射．类似地，在拓扑中我们也给它们一个特殊名称．
定义2.3.12 设X和Y 是两个拓扑空间，如果f:X?Y是一个一一映射，并且f和f是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚． 定理2.3.13 设X，Y和Z都是拓扑空间．则 (l）恒同映射iX:X?X是一个同胚； (2）若f:X?Y是一个同胚，则f?1?1都
:Y?X也是一个同胚；
(3）若f:X?Y和g:Y?Z都是同胚，则g?f:X?Z也是一个同胚．
根据定理2.3.13，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因此同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．
如果某一个拓扑空间具有某种性质P，那么与其同胚的任何一个拓扑空间也具有性质P，我们就称此性质P是一个拓扑不变性质，也就是说，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．
拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。
至此我们已经将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．
2.4 邻域与邻域系
我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们在2.2节中先定义了整体连续．
在定理2.2.14中我们已经发现，考虑映射在某一点处的连续性的定义，只要有一个适当的称之为“邻域”的概念。而在2.1节中定义度量空间的邻域时只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念，然后再给出映射在某一点处的连续性的概念．
定义2.4.1 设（X，T ）是一个拓扑空间，x?X．X的一个子集U称为x的一个邻域，如果存在一个开集V 使得x?V?U. 点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．
借助于邻域我们可以给出了开集的刻画如下：
定理2.4.2 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x?U,U便是x的一个邻域．
证明： 定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性，设U??，根据定理中的条件知，对于每一个x?U，存在一个开集Vx，使得x?Vx?U．因此
U?故U?x?U??x???Vx?Ux?U
x?U?Vx，根据拓扑的定义，U是一个开集．
下面定理概括了邻域系的基本性质：
定理2.4.3 设X是一个拓扑空间．记ux为点x?X的邻域系，则 (Nl）?x?X,ux?? 且U?ux?x?U； (N2）U,V?ux?U?V?ux； (N3) U?ux且U?V?V?ux；
(N4）如果U?ux，那么存在V?ux使得V?U且?y?V，都有U?uy．
下面定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用，并且这种做法或许还显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁。
定理2.4.4 设X是一个集合，且对于每一点x?X指定X的一个子集族ux，并且它们满足定理2.4.3 中的条件（Nl）一（N4).则X有唯一的一个拓扑T 使得对于每一点x?X，子集族ux恰是点x在拓扑空间（X，T ）中的邻域系． 证明： 令
XT ?U?2:?x?U,x?ux
??下面验证T 是X的一个拓扑. (1) 显然X,??T ；
A?B?ux，(2) 设A,B?T ，若x?A?B，则A?ux,B?ux，由定理2.4.3中的（N2）知，
因此A?B?T .o
(3) 设T 1? T ，若x??{A:A?T 1},则存在U?T 1，使得x?U.由于U?T ，所以
U?ux；又U??{A:A?T 1}，根据定理2.4.3中的（N3），有?{A:A? T 1}?ux，
这就证明了?{A:A? T 1}?T .
现记任意一点x?X的邻域系为ux，下面证明ux?ux.
设U?ux，由定理2.3.4中的（N4）可见存在V?ux使得V?T 且V?U.由定理2.4.3中的条件（N1）和（N3）得U?ux，因此ux?ux.
****另一方面，设U*?ux，则存在V?T 使得V?U.由V?ux以及定理2.4.3中的（N3）*知U?ux.这又证明了ux?ux.因此ux?ux.到此证明了邻域系的唯一性。
*******现在将度量空间之间在一点处的连续的映射概念推广到拓扑空间之间的映射中。
定义2.4.5设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y，x?X.如果f(x)的每一个邻域U的原象f?1(U)是x的一个邻域，那么就称f是一个在x处连续的映射，或简称映射f在点x
处连续．
类似于定理2.3.11我们也有下面定理： 定理2.4.6 设X，Y和Z都是拓扑空间．则
(1）恒同映射iX:X?X在每一点处都是连续的；
(2）如果f:X?Y在点x?X处是连续的，g:Y?Z在f(x)处连续，则g?f:X?Z在x处是连续的．
下面定理建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系。
定理2.4.7 设X和Y是两个拓扑空间，则映射f:X?Y连续当且仅当它在每个点处连续. 证明：若U是f(x)的邻域，则存在开集V，使得f(x)?V?U，(?)设映射f连续，x?X，于是f?1(x)?f?1(V)?f?1(U)，有由于f?1(V)是开集，故f?1(U)是x的邻域，这就证
明了f在x处是连续的。
(?)设对于每一个x?X，f在x处连续。若U是Y中的一个开集，则对于每一个点x?f?1(U)，U是f(x)的一个邻域，因此f?1(U)是x的邻域，所以f?1(U)是开集，这
就证明了f是连续的。