( 2 )(S?R)?1?R?1?S?1 ；
( 3 )T?(S?R)?(T?S)?R
另外，对于X的任意两个子集A和B，我们有： （4）R(A?B)?R(A)?R(B)； （5）R(A?B)?R(A)?R(B)； （6）(S?R)(A)?S(R(A)).
定义1.3.5 集合X中的一个关系R称为集合X中的一个等价关系，如果它满足： （1）自反性，即?x?X,(x,x)?R，或者?(X)?R； （2）对称性，即若(x,y)?R，则(y,x)?R，或者R?1?R；
（3）传递性，即若(x,y)?R,(y,z)?R,则(x,z)?R，或者R?R?R.
1.4 映射
定义1.4.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．若对于每一个x?X，存在唯一的一个
y?Y使得xFy，则称F 是从X到Y的一个映射，并且记作F:X?Y.
定义1.4.2 设X1,X2,?,Xn是n个集合。从笛卡尔集X?X1?X2???Xn到它的第i个坐标集Xi的投射（或称第i个投射）Pi:X?Xi定义为对每一个x?(x1,x2,?,xn)?X，
Pi(x)?xi.
定义1.4.3 设R 是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X／R 的自然投射
p:X?X/R定义为对于每一个x?X,p(x)?[x]R.
第二章 拓扑空间与连续映射
2.1 拓扑空间与连续映射
从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中，我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义
度量空间之间的连续映射．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等。
2.2 度量空间与连续映射
首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数f:R?R被称为在点x0?R处是连续的，如果对于任意实数??0，存在实数??0，使得对于任何
x?R，当x?x0??时，恒有f(x)?f(x0)??.在这个定义中只涉及两个实数之间的
距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．
定义2.2.1 设X是一个集合，?:X?X?R是映射．如果对于任何x,y,z?X，有 (1) 正定性，?(x,y)?0，并且?(x,y)?0当且仅当x?y； (2) 对称性，?(x,y)??(y,x)；
(3) 三角不等式，?(x,z)??(x,y)??(y,z). 则称?是X上的一个度量。
若?是集合X上的一个度量，则称偶对(X,?)是一个度量空间，或称X是一个具有度量?的度量空间．当度量?早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x,y?X，实数?(x,y)称为点x和点y之间的距离． 例2.2.2 实数空间R.
对于实数集合R，定义?:R?R?R如下：对于任意x,y?R,令
?(x,y)?x?y
容易验证?是R的一个度量，因此偶对(X,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量?称为R的通常度量，并且常常略而不写?，简称R为实数空间．
例2.2.3 n维欧式空间R.
n对于实数集合R的n重笛卡尔集R?R?R???R，定义?:R?R?R如下： n对于任意的x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?R，令
nnn?(x,y)??(xi?1nni?yi)2.
容易验证?是Rn的一个度量，因此偶对(R,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量?称为Rn的通常度量，并且常常略而不写?，而称Rn为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面． 例2.2.4 Hilbert空间
记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：
???2H??x?(x1,x2,?)xi?R,i?N,?xi???
i?1??定义?:H?H?R如下：对任意的x?(x1,x2,?),y?(y1,y2,?)?H，
?(x,y)??(xi?1?i?yi)2
容易验证?是H的一个度量，偶对（H，?）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert
空间。这里定义的度量?称为H的通常度量，并且常常略而不写?，而称H为Hilbert空间．
例2.2.5 离散的度量空间
设(X, ?)是一个度量空间．称(X, ?)是离散的，或者?称是X的一个离散度量，如果对于每一个x?X，存在一个实数?x?0使得对于任何y?X,(y?x)，都有?(x,y)??x.例如我们假定X是一个集合，定义?使得对于任何x,y?X，有：
?(x,y)???1,x?y;
?0,x?y.容易验证?是X的一个离散度量。因此度量空间(X, ?)是离散的。
离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的． 定义2.2.6 设(X, ?)是一个度量空间，对于任意给定的实数??0，定义
B(x,?)??y?X?(x,y)???
B(x,?)称为以x为中心，?为半径的球形邻域，简称为x的一个?邻域。
定理2.2.7 度量空间(X, ?)的球形邻域具有以下基本性质：
（1） 每一点x至少有一个球形邻域U，并且点x属于它的每一个球形邻域； （2） 对于点x的任意两个球形邻域U，V，存在x的一个球形邻域W同时包含于U与V中； （3） 如果y属于x的某一个球形邻城U，那么y有一个球形邻域V?U.
证明：（1）设x?X，对每一个实数??0，B(x,?)是x的一个球形邻域，这说明x至少
有一个球形邻域；由于?(x,x)?0??，故x属于它的每一个球形邻域。 （2）设B(x,?1)和B(x,?2)是x的两个球形邻域，任意选取实数
??0，使得
??min{?1,?2}，则易见B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)，即B(x,?)满足要求。
（3）设y?B(x,?),令?1????(x,y).显然，?1?0，若z?B(y,?1)，则
?(z,x)??(z,y)??(y,x)??1??(y,x)??
所以z?B(x,?)，这就证明了B(y1,?1)?B(x,?).
定义2.2.8 设A 是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每个a?A，都存在实数??0使得B(a,?)?A，那么称A是度量空间X中的一个开集．
例2.2.9 实数空间R中的开区间都是开集．
设a,b?R且a?b，则开区间(a,b)?x?Ra?x?b是R中的一个开集。这是因为 如果x?(a,b),令??min{x?a,b?x}，则B(x,?)?(a,b).
同样容易证明无限的开区间(a,??),(??,b),(??,??)都是R中的开集。而闭区间
??[a,b]?{x?Ra?x?b}却不是R中的开集。因为对于a?[a,b]以及任何??0，
B(a,?)?[a,b]都不成立。类似地，半开半闭区间(a,b],[a,b)以及无限区间[a,??)和(??,b]都不是R中的开集。
定理2.2.10度量空间X中的开集具有以下性质： (1)集合X本身和空集?都是开集；
(2)任意两个开集的交是一个开集；
(3)任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．
证明：(1)根据定理2.2.7(1)，X中每个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集?中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．