µã¼¯ÍØÆËѧ¿Î¼þ ÏÂÔØ±¾ÎÄ

( 2 )(S?R)?1?R?1?S?1 £»

( 3 )T?(S?R)?(T?S)?R

ÁíÍ⣬¶ÔÓÚXµÄÈÎÒâÁ½¸ö×Ó¼¯AºÍB£¬ÎÒÃÇÓУº £¨4£©R(A?B)?R(A)?R(B)£» £¨5£©R(A?B)?R(A)?R(B)£» £¨6£©(S?R)(A)?S(R(A)).

¶¨Òå1.3.5 ¼¯ºÏXÖеÄÒ»¸ö¹ØÏµR³ÆÎª¼¯ºÏXÖеÄÒ»¸öµÈ¼Û¹ØÏµ£¬Èç¹ûËüÂú×㣺 £¨1£©×Ô·´ÐÔ£¬¼´?x?X,(x,x)?R£¬»òÕß?(X)?R£» £¨2£©¶Ô³ÆÐÔ£¬¼´Èô(x,y)?R£¬Ôò(y,x)?R£¬»òÕßR?1?R£»

£¨3£©´«µÝÐÔ£¬¼´Èô(x,y)?R,(y,z)?R,Ôò(x,z)?R£¬»òÕßR?R?R.

1.4 Ó³Éä

¶¨Òå1.4.1 ÉèFÊÇ´Ó¼¯ºÏXµ½¼¯ºÏYµÄÒ»¸ö¹ØÏµ£®Èô¶ÔÓÚÿһ¸öx?X£¬´æÔÚΨһµÄÒ»¸ö

y?YʹµÃxFy£¬Ôò³ÆF ÊÇ´ÓXµ½YµÄÒ»¸öÓ³É䣬²¢ÇÒ¼Ç×÷F:X?Y.

¶¨Òå1.4.2 ÉèX1,X2,?,XnÊÇn¸ö¼¯ºÏ¡£´ÓµÑ¿¨¶û¼¯X?X1?X2???Xnµ½ËüµÄµÚi¸ö×ø±ê¼¯XiµÄͶÉ䣨»ò³ÆµÚi¸öͶÉ䣩Pi:X?Xi¶¨ÒåΪ¶Ôÿһ¸öx?(x1,x2,?,xn)?X£¬

Pi(x)?xi.

¶¨Òå1.4.3 ÉèR ÊǼ¯ºÏXÖеÄÒ»¸öµÈ¼Û¹ØÏµ£®´Ó¼¯ºÏXµ½ËüµÄÉ̼¯X£¯R µÄ×ÔȻͶÉä

p:X?X/R¶¨ÒåΪ¶ÔÓÚÿһ¸öx?X,p(x)?[x]R.

µÚ¶þÕÂ ÍØÆË¿Õ¼äÓëÁ¬ÐøÓ³Éä

2.1 ÍØÆË¿Õ¼äÓëÁ¬ÐøÓ³Éä

´ÓÊýѧ·ÖÎöÖжÁÕßÒѾ­ÊìÖªµ¥±äÁ¿ºÍ¶à±äÁ¿µÄÁ¬Ðøº¯Êý£¬ËüÃǵ͍ÒåÓòºÍÖµÓò¶¼ÊÇÅ·ÊϿռ䣨ֱÏߣ¬Æ½Ãæ»ò¿Õ¼äµÈµÈ£©»òÊÇÆäÖеÄÒ»²¿·Ö£®ÔÚÕâÒ»ÕÂÖУ¬ÎÒÃÇÊ×ÏȽ«Á¬Ðøº¯ÊýµÄ¶¨ÒåÓòºÍÖµÓòÖ÷ÒªÌØÕ÷³éÏó³öÀ´ÓÃÒÔ¶¨Òå¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£¬½«Á¬Ðøº¯ÊýµÄÖ÷ÒªÌØÕ÷³éÏó³öÀ´ÓÃÒÔ¶¨Òå

¶ÈÁ¿¿Õ¼äÖ®¼äµÄÁ¬ÐøÓ³É䣮Ȼºó½«Á½ÕßÔٶȳéÏ󣬸ø³öÍØÆË¿Õ¼äºÍÍØÆË¿Õ¼äÖ®¼äµÄÁ¬ÐøÓ³Éä£®ËæºóÔÙÖð²½Ìá³öÍØÆË¿Õ¼äÖеÄһЩ»ù±¾ÎÊÌâÈçÁÚÓò£¬±Õ°ü£¬ÄÚ²¿£¬±ß½ç£¬»ùºÍ×Ó»ù£¬ÐòÁеȵȡ£

2.2 ¶ÈÁ¿¿Õ¼äÓëÁ¬ÐøÓ³Éä

Ê×ÏÈÈÃÎÒÃÇ»ØÒäÒ»ÏÂÔÚÊýѧ·ÖÎöÖÐѧϰ¹ýµÄÁ¬Ðøº¯ÊýµÄ¶¨Ò壬һ¸öº¯Êýf:R?R±»³ÆÎªÔÚµãx0?R´¦ÊÇÁ¬ÐøµÄ£¬Èç¹û¶ÔÓÚÈÎÒâʵÊý??0£¬´æÔÚʵÊý??0£¬Ê¹µÃ¶ÔÓÚÈκÎ

x?R£¬µ±x?x0??ʱ£¬ºãÓÐf(x)?f(x0)??.ÔÚÕâ¸ö¶¨ÒåÖÐֻɿ¼°Á½¸öʵÊýÖ®¼äµÄ

¾àÀ루¼´Á½¸öʵÊýÖ®²îµÄ¾ø¶ÔÖµ£©Õâ¸ö¸ÅÄΪÁËÑéÖ¤Ò»¸öº¯ÊýÔÚijµã´¦µÄÁ¬ÐøÐÔÍùÍùÖ»ÒªÓõ½¹ØÓÚÉÏÊö¾àÀëµÄ×î»ù±¾µÄÐÔÖÊ£¬¶øÓëʵÊýµÄÆäËüÐÔÖÊÎ޹أ®¹ØÓÚ¶àÔªº¯ÊýµÄÁ¬ÐøÐÔÇéÐÎÒ²ÍêÈ«ÀàËÆ£®ÒÔÏÂÎÒÃÇ´ÓÕâÒ»¿¼²ì³ö·¢£¬³éÏó³ö¶ÈÁ¿ºÍ¶ÈÁ¿¿Õ¼äµÄ¸ÅÄ

¶¨Òå2.2.1 ÉèXÊÇÒ»¸ö¼¯ºÏ£¬?:X?X?RÊÇÓ³É䣮Èç¹û¶ÔÓÚÈκÎx,y,z?X£¬ÓÐ (1) Õý¶¨ÐÔ£¬?(x,y)?0£¬²¢ÇÒ?(x,y)?0µ±ÇÒ½öµ±x?y£» (2) ¶Ô³ÆÐÔ£¬?(x,y)??(y,x)£»

(3) Èý½Ç²»µÈʽ£¬?(x,z)??(x,y)??(y,z). Ôò³Æ?ÊÇXÉϵÄÒ»¸ö¶ÈÁ¿¡£

Èô?ÊǼ¯ºÏXÉϵÄÒ»¸ö¶ÈÁ¿£¬Ôò³ÆÅ¼¶Ô(X,?)ÊÇÒ»¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£¬»ò³ÆXÊÇÒ»¸ö¾ßÓжÈÁ¿?µÄ¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£®µ±¶ÈÁ¿?ÔçÓÐÔ¼¶¨Ê±£¬»òÕßÔÚÐÐÎÄÖÐÒÑ×÷½»´ú£¬²»ÌáËü²»ÖÁÓÚÒýÆð»ìÏý£¬ÕâʱÎÒÃǾͳÆXÊÇÒ»¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£®´ËÍ⣬¶ÔÓÚÈÎÒâÁ½µãx,y?X£¬ÊµÊý?(x,y)³ÆÎªµãxºÍµãyÖ®¼äµÄ¾àÀ룮 Àý2.2.2 ʵÊý¿Õ¼äR.

¶ÔÓÚʵÊý¼¯ºÏR£¬¶¨Òå?:R?R?RÈçÏ£º¶ÔÓÚÈÎÒâx,y?R,Áî

?(x,y)?x?y

ÈÝÒ×ÑéÖ¤?ÊÇRµÄÒ»¸ö¶ÈÁ¿£¬Òò´Ëż¶Ô(X,?)ÊÇÒ»¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£®Õâ¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼äÌØ±ðµØ³ÆÎªÊµÊý¿Õ¼ä»òʵֱÏߣ¬ÕâÀﶨÒåµÄ¶ÈÁ¿?³ÆÎªRµÄͨ³£¶ÈÁ¿£¬²¢ÇÒ³£³£ÂÔ¶ø²»Ð´?£¬¼ò³ÆRΪʵÊý¿Õ¼ä£®

Àý2.2.3 nάŷʽ¿Õ¼äR.

n¶ÔÓÚʵÊý¼¯ºÏRµÄnÖØµÑ¿¨¶û¼¯R?R?R???R£¬¶¨Òå?:R?R?RÈçÏ£º n¶ÔÓÚÈÎÒâµÄx?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?R£¬Áî

nnn?(x,y)??(xi?1nni?yi)2.

ÈÝÒ×ÑéÖ¤?ÊÇRnµÄÒ»¸ö¶ÈÁ¿£¬Òò´Ëż¶Ô(R,?)ÊÇÒ»¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£®Õâ¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼äÌØ±ðµØ³ÆÎªnάŷÊϿռ䣮ÕâÀﶨÒåµÄ¶ÈÁ¿?³ÆÎªRnµÄͨ³£¶ÈÁ¿£¬²¢ÇÒ³£³£ÂÔ¶ø²»Ð´?£¬¶ø³ÆRnΪnάŷÊϿռ䣮2άŷÊϿռäͨ³£³ÆÎªÅ·ÊÏÆ½Ãæ»òÆ½Ãæ£® Àý2.2.4 Hilbert¿Õ¼ä

¼ÇHΪƽ·½ÊÕÁ²µÄËùÓÐʵÊýÐòÁй¹³ÉµÄ¼¯ºÏ£¬¼´£º

???2H??x?(x1,x2,?)xi?R,i?N,?xi???

i?1??¶¨Òå?:H?H?RÈçÏ£º¶ÔÈÎÒâµÄx?(x1,x2,?),y?(y1,y2,?)?H£¬

?(x,y)??(xi?1?i?yi)2

ÈÝÒ×ÑéÖ¤?ÊÇHµÄÒ»¸ö¶ÈÁ¿£¬Å¼¶Ô£¨H£¬?£©ÊÇÒ»¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£¬Õâ¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä³ÆÎªHilbert

¿Õ¼ä¡£ÕâÀﶨÒåµÄ¶ÈÁ¿?³ÆÎªHµÄͨ³£¶ÈÁ¿£¬²¢ÇÒ³£³£ÂÔ¶ø²»Ð´?£¬¶ø³ÆHΪHilbert¿Õ¼ä£®

Àý2.2.5 ÀëÉ¢µÄ¶ÈÁ¿¿Õ¼ä

Éè(X, ?)ÊÇÒ»¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£®³Æ(X, ?)ÊÇÀëÉ¢µÄ£¬»òÕß?³ÆÊÇXµÄÒ»¸öÀëÉ¢¶ÈÁ¿£¬Èç¹û¶ÔÓÚÿһ¸öx?X£¬´æÔÚÒ»¸öʵÊý?x?0ʹµÃ¶ÔÓÚÈκÎy?X,(y?x)£¬¶¼ÓÐ?(x,y)??x.ÀýÈçÎÒÃǼٶ¨XÊÇÒ»¸ö¼¯ºÏ£¬¶¨Òå?ʹµÃ¶ÔÓÚÈκÎx,y?X£¬ÓУº

?(x,y)???1,x?y;

?0,x?y.ÈÝÒ×ÑéÖ¤?ÊÇXµÄÒ»¸öÀëÉ¢¶ÈÁ¿¡£Òò´Ë¶ÈÁ¿¿Õ¼ä(X, ?)ÊÇÀëÉ¢µÄ¡£

ÀëÉ¢µÄ¶ÈÁ¿¿Õ¼ä»òÐíÊÇÎÒÃÇÒÔÇ°Î´Ôø½Ó´¥¹ýµÄÒ»Àà¿Õ¼ä£¬µ«½ñºó»á·¢ÏÖËüµÄÐÔÖÊÊǼòµ¥µÄ£® ¶¨Òå2.2.6 Éè(X, ?)ÊÇÒ»¸ö¶ÈÁ¿¿Õ¼ä£¬¶ÔÓÚÈÎÒâ¸ø¶¨µÄʵÊý??0£¬¶¨Òå

B(x,?)??y?X?(x,y)???

B(x,?)³ÆÎªÒÔxΪÖÐÐÄ£¬?Ϊ°ë¾¶µÄÇòÐÎÁÚÓò£¬¼ò³ÆÎªxµÄÒ»¸ö?ÁÚÓò¡£

¶¨Àí2.2.7 ¶ÈÁ¿¿Õ¼ä(X, ?)µÄÇòÐÎÁÚÓò¾ßÓÐÒÔÏ»ù±¾ÐÔÖÊ£º

£¨1£© ÿһµãxÖÁÉÙÓÐÒ»¸öÇòÐÎÁÚÓòU£¬²¢ÇÒµãxÊôÓÚËüµÄÿһ¸öÇòÐÎÁÚÓò£» £¨2£© ¶ÔÓÚµãxµÄÈÎÒâÁ½¸öÇòÐÎÁÚÓòU£¬V£¬´æÔÚxµÄÒ»¸öÇòÐÎÁÚÓòWͬʱ°üº¬ÓÚUÓëVÖУ» £¨3£© Èç¹ûyÊôÓÚxµÄijһ¸öÇòÐÎÁÚ³ÇU£¬ÄÇôyÓÐÒ»¸öÇòÐÎÁÚÓòV?U.

Ö¤Ã÷£º£¨1£©Éèx?X£¬¶Ôÿһ¸öʵÊý??0£¬B(x,?)ÊÇxµÄÒ»¸öÇòÐÎÁÚÓò£¬Õâ˵Ã÷xÖÁÉÙ

ÓÐÒ»¸öÇòÐÎÁÚÓò£»ÓÉÓÚ?(x,x)?0??£¬¹ÊxÊôÓÚËüµÄÿһ¸öÇòÐÎÁÚÓò¡£ £¨2£©ÉèB(x,?1)ºÍB(x,?2)ÊÇxµÄÁ½¸öÇòÐÎÁÚÓò£¬ÈÎÒâѡȡʵÊý

??0£¬Ê¹µÃ

??min{?1,?2}£¬ÔòÒ×¼ûB(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)£¬¼´B(x,?)Âú×ãÒªÇó¡£

£¨3£©Éèy?B(x,?),Áî?1????(x,y).ÏÔÈ»£¬?1?0£¬Èôz?B(y,?1)£¬Ôò

?(z,x)??(z,y)??(y,x)??1??(y,x)??

ËùÒÔz?B(x,?)£¬Õâ¾ÍÖ¤Ã÷ÁËB(y1,?1)?B(x,?).

¶¨Òå2.2.8 ÉèA ÊǶÈÁ¿¿Õ¼äXµÄÒ»¸ö×Ó¼¯£®Èç¹ûAÖеÄÿһ¸öµã¶¼ÓÐÒ»¸öÇòÐÎÁÚÓò°üº¬ÓÚA£¨¼´¶ÔÓÚÿ¸öa?A£¬¶¼´æÔÚʵÊý??0ʹµÃB(a,?)?A£¬ÄÇô³ÆAÊǶÈÁ¿¿Õ¼äXÖеÄÒ»¸ö¿ª¼¯£®

Àý2.2.9 ʵÊý¿Õ¼äRÖеĿªÇø¼ä¶¼ÊÇ¿ª¼¯£®

Éèa,b?RÇÒa?b£¬Ôò¿ªÇø¼ä(a,b)?x?Ra?x?bÊÇRÖеÄÒ»¸ö¿ª¼¯¡£ÕâÊÇÒòΪ Èç¹ûx?(a,b),Áî??min{x?a,b?x}£¬ÔòB(x,?)?(a,b).

ͬÑùÈÝÒ×Ö¤Ã÷ÎÞÏ޵ĿªÇø¼ä(a,??),(??,b),(??,??)¶¼ÊÇRÖеĿª¼¯¡£¶ø±ÕÇø¼ä

??[a,b]?{x?Ra?x?b}È´²»ÊÇRÖеĿª¼¯¡£ÒòΪ¶ÔÓÚa?[a,b]ÒÔ¼°ÈκÎ??0£¬

B(a,?)?[a,b]¶¼²»³ÉÁ¢¡£ÀàËÆµØ£¬°ë¿ª°ë±ÕÇø¼ä(a,b],[a,b)ÒÔ¼°ÎÞÏÞÇø¼ä[a,??)ºÍ(??,b]¶¼²»ÊÇRÖеĿª¼¯¡£

¶¨Àí2.2.10¶ÈÁ¿¿Õ¼äXÖеĿª¼¯¾ßÓÐÒÔÏÂÐÔÖÊ£º (1)¼¯ºÏX±¾ÉíºÍ¿Õ¼¯?¶¼ÊÇ¿ª¼¯£»

(2)ÈÎÒâÁ½¸ö¿ª¼¯µÄ½»ÊÇÒ»¸ö¿ª¼¯£»

(3)ÈÎÒâÒ»¸ö¿ª¼¯×壨¼´ÓÉ¿ª¼¯¹¹³ÉµÄ×壩µÄ²¢ÊÇÒ»¸ö¿ª¼¯£®

Ö¤Ã÷£º(1)¸ù¾Ý¶¨Àí2.2.7(1)£¬XÖÐÿ¸öÔªËØx¶¼ÓÐÒ»¸öÇòÐÎÁÚÓò£¬Õâ¸öÇòÐÎÁÚÓòµ±È»°üº¬ÔÚXÖУ¬ËùÒÔXÂú×㿪¼¯µÄÌõ¼þ£»¿Õ¼¯?Öв»°üº¬ÈκÎÒ»¸öµã£¬Ò²×ÔÈ»µØ¿ÉÒÔÈÏΪËüÂú×㿪¼¯µÄÌõ¼þ£®