【房山二模】

（20）（本小题13分）

已知函数f?x?＝－alnx(a?R)． 1x（Ⅰ）当a＝-1时，

（i）求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

（ii）设g(x)?xf(x)?1，求函数g?x?的极值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间??1?,???有两个的零点，求实数a的取值范围． 2?e?（20） (Ⅰ)解：a＝-1，f?x?＝－lnx，f?1?＝1，f??x?＝1x?11?. x2x?k?f??1?＝0.

故所求切线方程为：y＝1 …………4分 (Ⅱ) 解：g?x??xlnx,函数定义域为：{x|x?0}

9 / 11

1g??x??lnx?1，x0?

e1(0,)eg?(x)?xg(x)1e极小值1(,??)e?

故g?x?的极小值为?，无极大值. …………9分

1e(Ⅲ)解法1：令f?x??11?alnx?0，解得：＝xlnx（显然a?0） xa问题等价于函数y?1与函数y＝xlnx的图像有两个不同交点. a1?1??e21211??ae?a??e 由(Ⅱ)可知：g(2)??2，g()??，?，解得：?22eeee?1??2?e?a?e2?故实数a的取值范围是??,?e?. …………13分

?2?(Ⅲ)解法2： f，?x???（1） a?0时，f?x??1aax?1 ???22xxx1?1?在?2,???上是减函数，f?x?不能有两个零点； x?e?（2）a?0时，ax?1?0，所以f，?x???ax?1?1?,???0在?恒成立， 22?x?e?所以f?x?在??1?,???上是减函数，f?x?不能有两个零点； 2e??（3）a?0时，令f，?x???ax?11 ?0,x??x2af?x?,f，?x?变化情况如下表：

xf,?x?f?x?1??0,???a???1?1???,???a?a? 0?极大值? 10 / 11

（i）?11?1??2时，即a??e2，f?x?在?2,???上是增函数， ae?e?所以f?x?不能有两个零点； （ii）?1?11?1?2时，?e2?a?0f?x?在?2,??上是减函数，

ae?ef?x?在??1???a,????上是增函数.

f?1??0

所以若f?x?在??1?e2,?????有两个零点只需： ???1???f????a???0???a?aln??1?????0?? 即：?a? ???f?1?e2??0?e2?aln1???e2?0?a??e解得??e2 所以?e2??22?a??e

?a????e2综上可知a的范围是?2,?e? ??

a?…………13分 11 / 11