果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球.
(1) X表示开始第4次发球时乙的得分，求X的分布列； (2) 求X的分布函数；
(3) 求X的期望，并求在开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率. 解
(1)由已知，利用独立性可得X的分布列为
X 0pk 18125 1 2 3 51 44 12 125k125125(2) 利用(1)的结果，由F(x)?xk?x?p得X的分布函数为
?0,x?0;?18?,0?x?1;?125??69F(x)??,1?x?2;
?125?113?125,2?x?3;???1,x?3.(3) 利用(1)的结果，可得X的期望为 EX?0?185144127?1??2??3??， 125125125125544. 125而在开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为
P(甲乙比分为1比2)＝P(X?2)?2．一袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中进行随机不放回抽取，每次取1个，前两次任何一次取出有5号球即停止抽取，若前两次都没取到5号球则需要继续进行第3次取球，第3次取球后不管是否取到5号球都停止再次抽取.以X表示取球次数.
(1)试求X的分布列； (2)求X的分布函数； (3)求X的期望和方差.
解 (1)易见，X可能值为1，2，3， 且
C111 P(X?1)?1?，
C55411P(X?2)???，
5453 P(X?3)?1?P(X?1)?P(X?2)?.
5此即X的分布列.
(2)利用(1)所得的分布列，根据F(x)??pi，得X的分布函数为
xi?x?0,x?1,??0.2,1?x?2,F(x)??
0.4,2?x?3,??1,x?3.?(3)利用(1)所得的分布列有
EX??xipi?1?0.2?2?0.2?3?0.6?2.4，
i?1??E(X)??xipi?12?0.2?22?0.2?32?0.6?6.6，
22i?1??DX?E(X2)?(EX)2?6.6?(2.4)2?0.84.
3．按以往概率论与数理统计课程考试结果分析，努力学习的学生考试及格的概率为0.9，不努力学习的学生考试及格的概率为0.1，据调查，学生中有85％的人是努力学习的，试求：
(1)在参加概率论与数理统计课程考试的学生中任选一位，其考试及格的概率？
(2)概率论与数理统计课程考试及格的学生有多大的可能是不努力学习的人？
解 记
B＝“学生是努力学习的”，
A＝“学生概率论与数理统计课程考试及格”，
则由已知有
P(B)?0.85，P(B)?0.15，
P(AB)?0.9，P(AB)?1?0.9?0.1，
(1)利用全概率公式得所求概率为
P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.85?0.9?0.15?0.1?0.78.
(2)利用贝叶斯公式，得所求的概率为
P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)
?
0.15?0.1 ?0.02.
0.85?0.9?0.15?0.14．据数据记载，某地区的肝癌发病率为0.0005，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误.已知患有肝癌的人检验呈阳性的概率为0.99，而没有患肝癌的人检验呈阴性的概率也为0.99.现该地区的某人去进行该项检查.(1)求此人检验结果呈阳性的概率？(2)若此人检验结果为阳性，求其没有患肝癌的概率？
解 记
A=“此人检验结果呈阳性”， B=“此人患有肝癌”.
则由已知，得
P(B)?0.0005，P(B)?0.9995，
P(AB)?0.99，P(AB)?1?0.99?0.01.
易见，B,B满足全概率公式和贝叶斯公式条件，于是，
(1)所求概率为
P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)
?0.0005?0.99?0.9995?0.01?0.01049.
(2)所求概率为
P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)
?
0.9995?0.01 ?0.9528.
0.0005?0.99?0.9995?0.015．将某信息用0，1编码进行传递，接收站收到时，0被误收为1的概率为0.02，1被误收为0的概率为0.01，在传送中0和1使用的比例为4:1，问：
(1) 若发出的信息是0，收到的信息也是0的概率是多少？ (2) 若收到的信息是0，原发出的信息是0的概率是多少？ 解 记
A=“收到的信息是0”，B=“发出的信息是0”,
则由已知，得
P(B)?0.8，P(B)?0.2，
P(AB)?1?0.02?0.98，P(AB)?0.01.
(1) 所求概率就是
P(AB)?0.98.
(2) 所求概率就是
P(BA)?P(B)P(AB)P(B)P(AB)?P(B)P(AB)
?0.8?0.98.
0.8?0.98?0.2?0.01?0.997.
6．一个袋中有5白5黄共10只乒乓球，小李从中任取1只后，你从剩下的9只中任取2只，结果均为白色乒乓球.试求小李取到的是白色乒乓球的概率.
解 记
A=“从剩余的9只中任取两只，结果均为白色乒乓球”， B=“小李取到的是白色乒乓球”.