（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布N(?,?2)（u?u0，?约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y).（说明P(X?x1)?1??(参考数据：?(0.7257)?0.6，?(0.6554)?0.4） 【答案】（1）103；（2）（i）117;(ii) 【解析】 【分析】

（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令

x1?u?)表示X?x1的概率.

8. 5x1?103?0.7257计算x1的值；（ⅱ）根据二项分布的

19.3概率公式得出Y的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

u0?65?0.05?75?0.08?85?0.12?95?0.15

?105?0.24?115?0.18?125?0.1?135?0.05?145?0.03?103.2?103

（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为x1， 根据题意，P(x?x1)?1???由??0.7257??0.6得，

?x1?u??x1?103??x1?103??1???0.4?，即??????0.6. ?19.319.3??????x1?103?0.7257?x1?117.0?117，

19.3所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.

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i4?i?2?23???，i?0,1,2,3,4. i?（ⅱ）因为Y～B?4,?，?P?Y?i??C4?????5??5??5?所以Y的分布列为 Y P

所以E?Y??4?0 1 216 6252 216 6253 96 6254 16 62581 62528?. 55【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：

①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；

②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B?n,p?），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E?X??np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．

19.如图，PA?矩形ABCD所在平面，PA?AD，M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证：平面ANB?平面PCD；

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（2）若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为

10，求二面角N?MD?C的正弦值. 10【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】

6 3（1）通过证明MN?面PCD，可证得面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，设AB?2t，由向量的夹角公式先求解线面角得t，再利用面的法向量求解二面角即可.

【详解】如图，取PD中点E，连接EN，AE. （1）证明：∵M，N，E为中点， ∴EN//AM，EN?AM?1AB， 2∴AMNE是平行四边形，MN//AE， 又∵CD?AD，CD?PA，

∴CD?面PAD，∴面PCD?面PAD.

∵PA?AD，E为中点，AE?PD,AE?面PCD， ∴MN?面PCD，∵MN?面ANB， ∴平面ANB?平面PCD. （2）建立如图所示坐标系，

A?0,0,0?，B?2t,0,0?，C?2t,2,0?，D?0,2,0?，P?0,0,2?，M?t,0,0?，N?t,1,1?.

由（1）知MN?面PCD，

uuuvuuuuv∴PB??2t,0,?2?，MN??0,1,1?.

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∵直线PB与平面PCD所成角的正弦值为

10， 10uuuvuuuuvPB?MN10vuuuuv?∴由uuu得t?2.

10PBMNuuuuvuuuuvv设m??x,y,z?为面NMD的法向量，则DM??2,?2,0?，MN??0,1,1?. uuuuvv?DM?m?0vvuvv由?uuu得m??1,1,?1?，m?3， ?MN?m?0uuuv∵AP?面CMD，AP??0,0,2?，设二面角N?MD?C为?，?为锐角，

uuuvvAP?m3vv?则cos??uuu，

3APm∴sin??6. 3【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.

20.动点M(x,y)满足(x?22)2?y2?(x?22)2?y2?6. （1）求M点的轨迹并给出标准方程；

uuuruuur（2）已知D(22,0)，直线l：y?kx?22k交M点的轨迹于A，B两点，设AD??DB且1???2，求k的取值范围.

x2【答案】（1）?y2?1（2）k?7或k??7. 9【解析】 【分析】

（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得a,c从而可得解；

（2）由AD??DB得y1???y2，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得

uuuvuuuv1?9k2?3211，设f???????2，求其范围即可得解. ???2?? - 16 -