实数的概念
一：【知识梳理】
1.实数的有关概念
(1)有理数: 和 统称为有理数。
(2)有理数分类
①按定义分: ②按符号分:
???(?有理数???(???(?)?0?(??()??()??(??)；有理数?0?)?(?)??()??(?()??()) ))（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数，则 。
（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a（a≠0）的倒数为（6）绝对值：
（7）无理数： 小数叫做无理数。 （8）实数： 和 统称为实数。 （9）实数和 的点一一对应。
????(??2.实数的分类:实数?
?
? ??(
??
??(??)???(???()??(?(?)?零?(??()??()??()?)????)?(?)??)?)1a.则 。
)
3.科学记数法、近似数和有效数字
（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都
叫做这个数字的有效数字。
1
【课前练习】
1．|－22|的值是（ ）
A．－2 B.2 C．4 D．－4 2．下列说法不正确的是（ ）
A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数
C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数
3．在?2??022?0无理数有（ ） 、sin45、、09、0.2020020002???、、这七个数中，
273 A．1个；B．2个；C．3个；D．4个 4．下列命题中正确的是（ ）
A．有理数是有限小数 B．数轴上的点与有理数一一对应
C．无限小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应
5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万
二：【经典考题剖析】
【例1】在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知
青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路
近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：
?,2?1,cos45?,-cos60?, 【例2】下列各数中：-1，0，169，2，1.101001??,0.6227?,2,
227??.
有理数集合{ ?}； 绝对值最小的数的集合{ }； 整数集合{ ?}； 自然数集合{ }； 分数集合{ ?}； 无理数集合{ }； 正数集合{ ?}；
2
【例3】 已知(x-2)+|y-4|+z?6=0，求xyz的值．
【例4】已知a与 b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2求2(a?b)3的值
【例5】a、b在数轴上的位置如图所示，且a＞b，化简a?a?b?b?a
?2(cd)m?1?2mm2
a
0b2
三：【课后训练】
2、一个数的倒数的相反数是1 ,则这个数是（）
6565 A． B． C．- D．－ 5656
3、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A．非负数 B．非正数 C．负数 D．正数
4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数
是2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A．代人法B．换元法C．数形结合D．分类讨论
5. 若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a＋b=___________． 6.已知x?y?y?x，x?4,y?3，则?x?y?? 7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字)
8.当a为何值时有：①a?2?3；②a?2?0；③a?2??3
3
15
9. 已知a与 b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2的相反数的负倒数，y不能作
除数，求2(a?b)2002
?2(cd)2001?1x?y2000的值．
3
实数的运算
【知识梳理】
1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则：
①同号两数相加，取________的符号，并把__________
②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。互为相反数的两个数相加得____。 ③一个数同0相加，__________________。
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。 (3)有理数乘法法则：
①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同0相乘， 都得________。
②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。当______________， 积为负，当_____________，积为正。
③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________.
(4)有理数除法法则：
①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。 ②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。 0除以任何一个 ____________________的数，都得0
(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________； 负数的__________是负数， 负数的__________是正数 (6)有理数混合运算法则：
先算________，再算__________，最后算___________。 如果有括号，就_______________________________。
2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 3.运算律
（1）加法交换律：_____________。 （2）加法结合律：____________。 （3）乘法交换律：_____________。 （4）乘法结合律：____________。 （5）乘法分配律：_________________________。 4.实数的大小比较
（1）差值比较法：
a?b＞0?a＞b，a?b=0?a?b，a?b＜0?a＜ b （2）商值比较法：
若a、b为两正数，则
（3）绝对值比较法：
a?b?a?b；a＜b?a＞b 若a、b为两负数，则a＞b?a＜b；ab＞1?a＞b；
ab?1?a?b;ab＜1?a＜b
（4）两数平方法：如15?5.三个重要的非负数：
5与13?7 4
【课前练习】
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A．|m|与—m互为相反数 B．2?1与2?1互为倒数 C．1998．8用科学计数法表示为1．9988×102
D．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．50
2. 在函数y?1中，自变量x的取值范围是（ ）
1?xA．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1
3. 按鍵顺序－1·2÷4＝，结果是 。 4.16的平方根是______ 5.计算
(1) 32÷(－3)2+|－ 16 |×(－ 6)+49；(2) (32-23)2-(32+23)
【经典考题剖析】
1.已知x、y是实数， 3x?4?y2?6y?9?0,若axy?3x?y,求实数a的值.
2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:42,13,?24,?2,27,(?1)0
3.比较大小:(1)35与211,(2)15?5与13?7,(3)10?3与3-22
5
4.探索规律:3=3，个位数字是3；3=9，个位数字是9；3=27，个位数字是7；3=81，个位数字是1；3=243，个位数字是3；3=729，个位数字是9；?那么3的个位数字是 ；320的个位数字是 ； 5.计算：
(?2)?(?1)?35
6
7
1234
（1）
?12?2(?12)??()?2???； 2?0.25?4???1?3?(?2)?4（2）(2)?1?(2001?tan300)0?(?2)2?3116?12?1
【课后训练】
1.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人， 三个住宅区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小， A100mB那么停靠站的位置应设在（ ）
A．A区； B．B区； C．C区； D．A、B两区之间
200mC 2.根据国家税务总局发布的信息，2004年全国税收收入完成25718亿元，比上年增长
25.7%，占2004年国内生产总值（GDP）的19%。根据以上信息，下列说法：①2003年
全国税收收入约为25718×（1-25.7%）亿元；②2003年全国税收收入约为
257181+25.7%亿
元；③若按相同的增长率计算，预计2005年全国税收收入约为25718×（1+25.7%）亿元；④2004年国内生产总值（GDP）约为
2571819%亿元。其中正确的有（ ）
A．①④；B．①③④；C．②③；D．②③④ 3.当0＜x＜1时，x2,x,A．
1x1x的大小顺序是（ ） ＜x＜x；C．x＜x＜
22＜x＜x；B．
21x1x；D．x＜x＜
21x
4.设a是大于1的实数，若a,a?22a?1,在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、33 6
C三点在数轴上自左至右的顺序是（ ）
A．C 、B 、A；B．B 、C 、A ；C．A、B、 C ；D．C、 A、 B 5.现规定一种新的运算“※”：a※b=ab，如3※2=32=9，则
A．
1812※3?（ ）
；B．8；C．
16；D．
32
6.火车票上的车次号有两种意义。一是数字越小表示车速越快：1～98次为特快列车；
101～198次为直快列车；301～398次为普快列车；401～498次为普客列车。二是单、
双数表示不同的行驶方向，比如单数表示从北京开出，则双数表示开往北京。根据以上规定，杭州开往北京的某一趟直快列车的车次号可能是（ ） A．20；B．119；C．120；D．319 7.计算： （1）(3－ （4）
12+12?3-(2+3)013)2； ⑵(3+2)(3－2)； ⑶27+33-1
； （5）?0.52+(-12)--2-4-(-12212)?(313)?(-3124)
8. 已知：
9.小王上周五买进某公司股票1000股，每股25元，在接下来的一周交易日内，小王记下
该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况：（单位：元）
星期 一 每股涨跌 +2 根据表格回答问题
（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？
（2）本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五以收盘价将传全部股票卖出，他的收益情况如何？
7
x?3x?2?13?2?1，求
?5????x?2?的值
2x?4?x?2?x?3二 -0.5 三 +1.5 四 -1.8 五 +0.8 数的开方和二次根式
一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】
1.平方根与立方根
(1)如果x=a，那么x叫做a的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。
（2）如果x3=a，那么x叫做a的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有
一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式
（1） （2）
（3）
（4）二次根式的性质
①若a?0,则(a)2? ；③ab? (a?0,b?0)
22
②a?a???a??a(())；④ab?ab(a?0,b?0)
（5）二次根式的运算
①加减法：先化为 ，再合并同类二次根式；
②乘法：应用公式a?b?ababab(a?0,b?0)；
③除法：应用公式?(a?0,b?0)
④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
（二）：【课前练习】
1.填空题
8
2. 判断题 3. 如果
(x-2)=2-x2那么x取值范围是（）
A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A．x+1 B.xy C.12 D.0.5225 ；④27和3是同类二次根式的是（ ）
5. 在二次根式：①12, ②23③23 A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
二：【经典考题剖析】
1. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a2 －6a+9+b?4?|c?5|?0，试判断△ABC的形状．
2. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）?2x?3； （2）
3.找出下列二次根式中的最简二次根式：
27x,x?y,221?xx?12； （3）1x?4
2ab,0.1x,2a2,?21,?x,11x?y?, ab224.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：
9
3,75,18,127,2,125,1503,28ab(b?0),?3b3a2b
5. 化简与计算
①675；②4?4x?x(x?2)；③ ⑤
2116?125；④m?4m?4m?6m?922(m??72)
?2?3?6???22?3?6?2；⑥23?32??6??23?32?6
?三：【课后训练】
1. 当x≤2时，下列等式一定成立的是（ ） A、C、 2. 如果?x?2?2?x?2 B、??x?3?2?x2?x?3
3?x2?x?x?2??x?3?22?x?3?x D、3?x?
(x-2)=2-x那么x取值范围是（）
A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2
3. 当a为实数时，a2=-a则实数a在数轴上的对应点在（ ） A．原点的右侧 B．原点的左侧
C．原点或原点的右侧 D．原点或原点的左侧
4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17是17的平方根，其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10
5. 计算a+a321a所得结果是______．
6. 当a≥0时，化简3a2= 7.计算 （1）、
（3）、?233?2
8. 已知：x、y为实数，y=
9. 实数P在数轴上的位置如图所示：化简
10. 阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+1-2a+a2其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：
原式= a+1-2a+a2= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________
(p?1)?22525x9?x2?9、x； （2）
?30025?2??400252??
?2； （4）、5486?27123? x-4+4-x+1x-222，求3x+4y的值。
(P?2)2 11
代数式的初步知识
一：【知识梳理】
1. 代数式的分类: 有理式
代数式
无理式 2. 代数式的有关概念
(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母
连结而成的式子叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．
（2）有理式： 和 统称有理式。
（3）无理式：
3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。
【课前练习】
1. a，b两数的平方和用代数式表示为（ ）
A.a2?b2 B.(a?b)2 C.a?b2 D.a2?b 2. 当x=-2时，代数式-x2+2x-1的值等于（ ）
A.-9 B.6 C.1 D.-1
3. 当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
4. 一种商品进价为每件a元，按进价增加25％出售， 后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还盈利（ ）
A.0.125a元 B.0.15a元 C.0.25a元 D.1.25a元
5.如图所示，四个图形中，图①是长方形，图②、③、 ④是正方形，把图①、②、③
三个图形拼在一起（不重合），其面积为S，则S＝______________；图④的面积P为_____________，则P_____s。
2a①bb②ba③aa+ba+b④二：【经典考题剖析】
1. 判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。
（1）a2-ab+b2；（2）S=
2. 抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a元的过氧乙酸消毒液提价20％后出售，
市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价后下降15％，那么现在每桶的价格是_____________元。
12（a+b）h；（3）2a+3b≥0；（4）y；（5）0；（6）c=2?R。
12
3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状，当用剪刀像图⑵那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪成5段；当用剪刀像图⑶那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段，若用剪刀在虚线ab之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行）这样一共剪n次时绳子的段数是（ ） a b a
⑶ ⑵ ⑴
A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+5
333323
4. 有这样一道题，“当a= 0.35，b=-0.28时，求代数式 7a－6ab+3a＋6ab－3ab－10a+3
a2b－2的值”．小明同学说题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由．
5. 按下列程序计算，把答案填在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规
律？
x?平方??x??x??x?答案
13 （1）填写表内空格：
输入x 3 2 -2 ... ... 输出答案 1 1 （2）发现的规律是：____________________。 （3）用简要的过程证明你发现的规律。
三：【课后训练】
1. 下列各式不是代数式的是（ ）
A．0 B．4x2－3x+1 C．a＋b= b+a D、
2y
2. 两个数的和是25，其中一个数用字母x表示，那么x与另一个数之积用代数式表示
为（ ）
A．x（x＋25） B．x（x—25） C．25x D．x（25－x）
13
3. 若ab与ab是同类项，下列结论正确的是（ ）
A．X＝2，y=1；B．X=0，y=0；C．X＝2，y=0；D．X=1，y=1 4. 小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），
然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第 2步），如图反映的是前3步的图案，当第１0步结 束后，组成图案的积木块数为 （ ）
A．306 B．361 C．380 D．420
第1步
第2步
第3步
xy2
5. 科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个
奇特的数列——著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，??仔细
观察以上数列，则它的第11个数应该是 .
22 6. 若x=-2,则3x-x+2x+3x= ；
7. 一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一
部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．
8. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n个图案中有白色地面砖 块． 9. 下面是一个有规律排列的数表：
上面数表中第9行，第7列的数是_________．
10. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
①1=12； ②1+3=22； ③1+3+5=32；
④ ；
⑤
??
⑵通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.
??
14
整式
一：【知识梳理】
1.整式有关概念
（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中____________叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；
（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。 多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。多项式中____________
的个数，就是这个多项式的项数。
2.同类项、合并同类项
（1）同类项：________________________________ 叫做同类项； （2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。 （4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；
括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算
（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。 （2）整式的乘除法：
①幂的运算：
a?a?aa?1,a0?pmnm?n;a?a?a1pmnm?n;(a)?amnmn;(ab)?abnnn
(a?0,p为整数)?a②整式的乘法法则：单项式乘以单项式： 。 单项式乘以多项式：m(a?b)? 。 单项式乘以多项式：(m?n)(a?b)? 。 ③乘法公式：
平方差： 。 完全平方公式： 。
a、b型公式：(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab
2④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
15
【课前练习】
1. 代数式－4x2y2+12xy3-1有___项，每项系数分别是 __________. 2. 若代数式－2xa
yb+2与3x5y2-b
是同类项，则代数式3a－b=_______
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab；B．a·a3=a3 ；C．a6÷a2=a3 ；D．（－ab）2=a2b2
4. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ）． ①（2a－3b）（3b－2a）；②（－2a ＋3b）（2a+3b） ③（－2a +3b）（－2a －3b）；④（2a+3b）（－2a－3b）．
A．①②；B．②③ ；C．③④ ；D．①④
5. 合并同类项：⑴-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x2y?5xy2?4x2?3xy2
二：【经典考题剖析】
1.计算：－7a2b+3ab2－｛[4a2b-(2ab2-3ab)]-4ab-(11ab2-31ab－6ab2｝
2. 若x3m=4,y3n=5,求(x2m)3+(yn)3－x2m·yn的值．
3. 已知：A=2x2+3ax－2x－1, B=－x2+ax－1，且3A+6B的值与 x无关，求a的值．
16
4. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）展开式中的系数：
1
(a+b)=a +b；
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)=a +3a b+3ab+b
则(a+b)4=____a4+____a3 b+___ a2 b2+_____
(a+b)= 5. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a+b)=2a2＋3ab+ b就可以用图l－l－l或图l－l－2等图形的面积表示． （1）请写出图l－1－3所表示的代数恒等式： （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示： （a+b）（a+3b）＝a2＋4ab十3b2． （3）请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒
等式，并画出与之对应的几何图形．
263
3
2
2
3
4
2
三：【课后训练】
1. 下列计算错误的个数是（ ）
⑴x+x=x；⑵ 333+3m?6m=；2⑶m? 66?aa3?5?a=a⑷035=a; 82 =(-1)(-1)(-1)(--11))4?3?24=(A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 计算：(3a2-2a+1)-(2a2+3a-5)的结果是（ ）
A．a2－5a+6; B．a2－5a－4; C．a2+a－4; D. a 2+a+6 3. 若x2+ax=(x+ A. a=3,b=9432)+b，则
942a、b的值是（ ）
; C.a=0, b=-94; D.a=3, b=-32; B.a=3,b=-
4. 下列各题计算正确的是（ ）
A、x8÷x4÷x3=1 B、a8÷a-8=1 C. 3100÷399=3 D.510÷55÷5-2=54
5. 若3a3bn-5amb4所得的差是 单项式．则m=___．n=_____，这个单项式是____________．
17
6. －
?abc223的系数是______，次数是______．
7. 求值：（1－
122）（1－
132）（1－
142）?（1－
192）（1－
2
1102）
8. 化学课上老师用硫酸溶液做试验，第一次实验用去了a毫升硫酸，第二次实验用去
了b毫升硫酸，第三次用去了2ab毫升硫酸，若a=3．6，b=l．4．则化学老师做三
次实验共用去了多少毫升硫酸？
9. ⑴观察下列各式：
⑵由此可以猜想：( ⑶证明你的结论：
10. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+?
+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+?+n=n(n+1)，其中n是
212
ba)n=____(n为正整数，且a≠0)
正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式： 1×2+2×3+3×4+?+n(n+1)=? 1×2= (1×2×3－0×1×2)
312×3= (2×3×4－1×2×3)
31 3×4= (3×4×5－2×3×4)
31将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×+2×3 3×4=×3×4×5=20
31 读完这段材料，请你思考后回答：
⑴1×2+2×3+3×4+?+100×101=_________. ⑵1×2+2×3+3×4+?+n(n+1)=___________. ⑶1×2×3+2×3×4+??+n(n+1)(n+2)=______-. （只需写出结果，不必写中间的过程）
18
因式分解
一：【知识梳理】
1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因
式． 2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出
来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；
3．分解因式的步骤：
（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后
再考虑是否能用公式法分解． （2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公
式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续
分解等
【课前练习】
1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）
A．3x－2与 6x2－4x B.3（a－b）2与11（b－a）3 C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ）
A.x?1?(x?1)(x?1) ;B.1?4y?(1?2y)(1?2y)C.81x?64y?(9x?8y)(9x?8y);D.(?2y)?x?(?2y?x)(2y?x)2222223. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）
A.9xC.9x22?49y B.?9x2222?49y22
22
4. 分解因式：x+2xy+y－4 =_____
25. 分解因式：（1）9n??49y D.?(9x?49y)
??2；2a2??22?2
（2）x?y? ；（3）25x?9y? ； （4）(a?b)?4(a?b)；（5）以上三题用了 公式
2222二：【经典考题剖析】
1. 分解因式：
32333x?18x?27x；（1）xy?xy；（2）（3）（4）4?x?y??2?y?x? ?x?1??x?1；
223
19
2. 分解因式：
（1）x2?3xy?10y2；（2）2x3y?2x2y2?12xy3；（3）?x2?4?2?16x2
3. 计算：（1）??1?1?22??1?1?????1?1??1?1?????32????92????102? ?
（2）20022?20012?20002?19992?19982?????22?12
4. 分解因式：（1）4x2?4xy?y2?z2；（2）a3?a?2b?2a2b
5. （1）在实数范围内分解因式：x4?4；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2?b2?c2?ab?bc?ac，求证：△ABC为等边三角形。
20
三：【课后训练】
1. 若9x2?mxy?16y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．24 B．12 C．±12 D．±24 2. 把多项式ab?1?a?b因式分解的结果是（ ）
A．?a?1??b?1? B．?a?1??b?1? C．?a?1??b?1? D．?a?1??b?1? 3. 如果二次三项式x2?ax?1可分解为?x?2??x?b?，则a?b的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2 4. 已知248?1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65 5. 计算：1998×2002＝ ，272?46?27?232＝ 。 6. 若a2?a?1?0，那么a2001?a2000?a1999＝ 。 7. m、n满足m?2?8. 因式分解：
（1）?x2?3x??2?x2?3x??8；（2）a2?b2?2ab?2b?2a?1 （3）?x?1??x?2??x?3??x?4??1；（4）?1?a2??1?b2??4ab 9. 观察下列等式：
32 1?1 1?2?3 1?2?3?6 1?2?3?4?10??
3323332333322n?4?0，分解因式?x2?y2???mxy?n?＝ 。
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？
用等式将其规律表示出来： 。 10. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a?bc?b?ac，试判断△ABC的形状。
阅读下面解题过程：
解：由a?bc?b?ac得： a?b?ac?bc ① ?a2?b2??a2?b2??c2?a2?b2? ② 即a?b?c ③ ∴△ABC为Rt△。 ④
试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填
代号） ；错误原因是 ；本题的结论应为 。
222442222422422422422 21
分式
一：【课前预习】
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一
个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫
做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，
一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。 2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的
值 ．即：
ABa?b?A?MB?Mab?A?MB?M(其中M?0)
（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值
不变。即：
?ab??????a?b
3.分式的运算：? 注意：为运算简便，运用分式 aba?b?同分母?????ccc的基本性质及分式的符号法
?加减?acad?bc?则： ?异分母????bdbd? ①若分式的分子与分母的各项 ?acac??系数是分数或小数时，一般要化乘?????bdbd为整数。 分式运算?乘除?acadad??除 ②若分式的分子与分母的最高次??????bdbcbc?项系数是负数时，一般要化为正?nana?乘方数。 ()?n(n为整数)?bb ?? （1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）?异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行
计算
（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做
积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ；
（3）分式乘方是____________________，公式_________________。
4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。 5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
22
（二）：【课前练习】 1. 判断对错：
①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a≠0时，分式
x?y12,x?2. 在3x,0,321a＝0有意义（ ）； ④当a＝0时，分式
x21a＝0无意义（ ）
13,3,1,,xx?y?2x2中，整式和分式的个数分别为（ ）
A．5，3 B．7，1 C．6，2 D．5，2 3. 若将分式
a?bab (a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则
分式的值为（ ）
A．扩大为原来的2倍 ；B．缩小为原来的
9?x2212；C．不变；D．缩小为原来的
14
4.分式
x?6x?9x约分的结果是 。
5. 分式
4(x?y)(y?2)6(y?x)(2?y),y,7(y?2)的最简公分母是 。
二：【经典考题剖析】
1. 已知分式
2x?5x?4x?52,当x≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0．
2. 若分式
x?x?2x?1的值为0，则x的值为（ ）
A．x=－1或x=2 B、x=0 C．x=2 D．x=－1 3.（1） 先化简，再求值：(
（2）先将
（3）已知
x3?y4?z6?0，求
3xx?1?xx?1)?x?1x2，其中x?2?2.
x?2xx?12?(1?1x)化简，然后请你自选一个合理的x值，求原式的值。
x?y?zx?y?z的值
23
4.计算 （1） （4）?
5. 阅读下面题目的计算过程：
x?3x?12a?4a?22??a?2??1a?2；（2）
2x?1?（3）?1???x?2；
x?2xx?2?x2x?4? ??2x?2x??2?3x?1124?x?y??x?y?x?y???；（5） ????241?x1?xx?y?3xx1?x1?x??2?21?x＝
x?3?x?1??x?1??x?1??x?1??2?x?1? ①
＝?x?3??2?x?1? ②
＝x?3?2x?2 ③
＝?x?1 ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。
三：【课后训练】
1. 当x取何值时，分式（1）
2. 当x取何时，分式（1）
2x?33x?532x?1；（2）
3x?22x?1；（3）
2x?4有意义。
；（2）
x?3x?3的值为零。
24
3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。 （1）
2nm?2?()23(m?2)；（2）
ab?b22ab?b2?a?b()
4. 若a?b?7;ab?12，则
a?bab2＝ 。
5. 已知
1x?1y?3。则分式
a?ba?b22222x?3xy?2yx?2xy?y)?2ab的值为 。
6. 先化简代数式(
7. 计算：
（1）1?(a?11?a?a?ba?b(a?b)(a?b)2然后请你自取一组a、b的值代入求值．
)?2a?a?1a?2a?122；（2）
3?x5????x?2?? x?2?x?2?
2?m?nmn?n?mn?2??2?（3）2；（4）?2 22?x?4x?4x?42x?4n?1m?2mn?nm?n??1x1
25
9. 先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程x? 方程x?1x111121 方程x??2的解是x1=3,x2??； ?1的解是x1=2,x2??；x22x3334的解是x1=4,x2??14?3 方程x?；1x?445的解是x1=5,x2??15 ；问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10 =10
10. 阅读下面的解题过程，然后解题：
已知
xa?bxa?b?yb?c??yb?czc?a?zc?a1011的解，并写出检验．
求(a、b、c互相不相等)，=k,
x+y+z的值
解：设
则x?k(a?b);y?k(b?c),z?k(c?a);于是x+y+z=k(a?b?b?c?c?a)?k?0?0
仿照上述方法解答下列问题：已知：
y?zx?z?xy?x?yz(x?y?z?0),求x?y?zx?y?z的值。
26