5.用类比法构建知识网络，使知识更加系统化

在进行知识复习时间，若将各知识点分散复习,学生不易掌握，且层次不清.而如果能引导学生应用类比法进行知识点归纳整理、方法总结，就可以将有关知识进行类比，把一些有内在联系的知识串联起来,建构一定的知识网络，这可以加深对知识的理解和掌握.如复习圆与圆锥曲线时,可以通过离心律e在(0,??)的变化，以及圆是椭圆长短轴相同的极限情况,类比各种二次曲线，举一反三地综合复习圆与圆锥曲线的图象与性质.当然在应用类比进行综合复习时间，一定要明确他们的区别与联系,培养学生用一分为二的辩证唯物主义观点看问题的世界观，以免出现知识负迁移的情况.

三、类比法在高中数学教学中的具体应用

高中数学的理论性、抽象性强，需要在对知识的理解上下功夫，要多思考，多研究。按寻找类比对象的角度不同, 类比常分为降维类比、结构类比、简化类比等类型.在高中数学学习中，类比思想主要有以下几方面的应用：

1.个别到一般的推广

应用模式：从具体问题或具体素材出发→实验—归纳—推广→形成普遍命题——证明→类比——联想——预见→→→→→

例4:已知A,B,C是?ABC的内角,求证：

证： 3ABC?A?B?C?111?????33ABC1119??? ABC?3339??ABC?? 311132 ????ABC?运用类比：

111142在四边形ABCD中，有????

ABCD2?1111152在五边形ABCDE中，有?????????

ABCDE3?通过归纳、猜想:

1n2在N边形A1A2?An中，有??

(n?2)?i?1Ain2.某种特性的推广使用：

例5：（2003年上海春招）设f(x)?

12x?25

，利用推导等差数列前n项和的方

法――倒序相加法,求f(?5)?f(?4)???f(0)???f(5)?f(6)的值为 ．

分析：与等差数列前n项和的方法――倒序相加法相类比， 即利用f(x)?f(1?x)?12?2x?121?x?2?12．

设S?f(?5)?f(?4)???f(0)???f(5)?f(6)， S?f(6)?f(5)???f(0)???f(?4)?f(?5)，

∴2S?12[f(?5)?f(6)]?122，∴S?32．

321321312应用类比：求

311311312????31213121312的值.

3?33?33?3ax归纳总结：若f(x)?x(a?0,a?R)，恒有f(x)?f(1?x)?1

a?a例6：在一元二次函数y?a(x?m)2?n的基础上，类比研究含有绝对值函数

ax2?bx?cy?ax?m?n的图象与性质，进一步还可研究y?py?logpax2，y?pax?m?n，

?bx?c，y?logp(ax?m?n)的图象与性质（对称性、奇偶性、单调性、

定义域、值域）.

3.数与形的类比,构造关联问题,拓宽解题思路

某些待解决的问题没有现在的类比物, 但可通过观察, 凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后可通过适当的代换, 将原问题转化为类比问题来解决.如类比两点间的“距离”公式是解决许多代数问题的策略：

例7：已知函数f(x)?1?x2当a?b时，比较f(a)?f(b)与a?b的大小 分析：此题用常规解法作差或作商法较为烦琐.注意到f(a)?f(b)与a?b和平面上两点间的距离在结构上极为相似. 所以在坐标系中,设点A(1,a)和点

B(1,b)，则f(a)?1?a2表示点A 到原点的距离, f(b)?1?b2表示点B 到原点

的距离, a?b表示A,B两点的距离,在△OAB 中, 由“两边之差小于第三边”有

OA?OB?AB，所以f(a)?f(b)?a?b. 例8：求函数y?x2?4?x2?4x?5的最小值 分析：观察式子，类比两点A(x1,y1)，B(x2,y2)之间的距离公式：AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2，猜想可以应用

y?(x?0)2?(0?2)2?(x?2)2?(0?1)2，设动点P(x,0)o A y B P P x 为 x 轴上的点，A(0,2),B(2,1)为定点，问题转化为坐标

D

6

平面上两点间的距离之和，即求y?PA?PB的最小值。即在 x 轴上找一点P，使得点P到A，B的距离之和最短，这就是将代数最值问题转化为平面几何的最值问题.

4.类似知识点的迁移类比探索

例9：(2000年上海卷)在等差数列{an}中，若a10?0，则有等式

a1?a2???an?a1?a2???a19?n(n?19,n?N*)成立，类比上述性质，相应地等比

数列{bn}中，若b9?1，则有等式___________________成立.

分析：等差数列和等比数列是两类特殊的数列,在很多地方有相同或相似的性质,如:若p,q,s,t是正整数,且p?q?s?t, 若?an?成等差数列,则有;t若?bn?成等比数列, 则类似的结论是ap?aq?as?at.在解答问题ap?aq?as?a时，能类比等差数列的性质，分析等比数列所具备的类似关系，就不难解决此问题.

变式：（2004年北京）定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列?an?是等和数列，且a1?2,公和为5.那么a18的值为 ,这个数列前n项和Sn的计算公式为 ．

分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法.

例10:x2?y2?r2由直径所对的圆周角出发，可得若AB是圆O的直径，M是圆O上异于A,B的任意一点，则有kAM?kBMx2y2??1,那么对椭圆2?2?1(a?b?0)和

abx2y2双曲线2?2?1，猜想是否有类似的结论.

ab5.简化类比,培养思维的灵活性

简化类比, 就是将原命题类比到比原命题简单的类似命题, 通过类比命题的解决思路和方法的启发,寻求原命题解决思路与方法. 比如可先将多元问题类比为一元或二元问题, 高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等,这样可以沟通数学知识、数学方法之间的联系,激活学生的思维,有利于培养学生思维的灵活性.

6.从低维到高维，平面到空间推广的类比拓展

学生在初中阶段所学习的平面几何，高中阶段学习的平面向量都是二维层次上

7

的学习，而立体几何以及借助于空间向量研究立体几何的相关性质都都是三维层次上的学习。当研究的对象从平面扩展到空间时, 尽管有一些性质、结论发生了变化, 但仍有许多东西与平面几何相同或类似.所以学习立体几何,最重要的方法之一就是与平面几何类比.将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比.在降维类比的方法中,常常体现在双向联想的结合, 即由平面几何问题类比联想到立体几何中去, 又运用类比联想的思维方法将立体几何问题化归为平面几何问题去思考.对此科学家开普勒也曾有精辟的论述,“我珍视类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师,它能提示自然界的秘密, 在几何中它应该是最不可忽视的.”

例11：平面与空间的类比 平面 等腰三角形的高通过底边的中点;正多边形的对角线互相平分 在同一三角形中两边之和大于第三边 直角三角形 勾股定理c?a?b 若M为正三角形内任一点,则M到三角形各边的距离之和为定值. 若从点O所做的两条射线OM，ON222空间 正棱锥的高通过底面的中心 在同一三棱锥中三个面的面积之和大于第四个面的面积 直角四面体,D为斜面，A、B、C为直角面记D,A,B,C为四个面的面积,有D2?A2?B2?C2 若M 为正四面体内任一点,则M 到四面体各面的距离之和为定值. 从点O所作的不在同一平面内的三条射线上分别有点M1,M2与点N1,N2，则三OP，OQ和OR上，分别有点P1,P2,点Q1,Q2和点VO?PQSOM1N1OM1?ON1OP11R11?OQ1?OR1?角形面积比 R1,R2，则?VOP?OQ?ORSOM2N2OM2?ON2O?P2Q2R2222在任意?DEF中有余弦定理：在任意斜三棱柱ABC?A1B1C1中有余弦定理 222SABB?S?S?2SBCCB?SACCAcos?. ABCCBACC11111A11111DE2?DF2?EF2?2DF?EFcos?DFE ?? ?? 正如波利亚说:“??对平面几何和立体几何作类比, ??是提出新问题和获得新发现取之不竭的泉源”.

四、应该注意的问题

8

在学习中, 我们应注意将所要解决的问题与熟知的信息相类比,进行多方位的联想, 将式子的结构、运算的规律、解题的方法、问题的结论等加以引伸、推广或迁移,由旧知发现新知, 启发学生把问题纵深发展,有助于活跃学生的思维, 举一反三、触类旁通.当然因为类比含有猜测的成分,是或然推理,属于合情推理的范畴.在运用类比思想得出结论的过程中,有可能学生所得到的结论不能直接用于原来的问题,这个时候,教师就要启发或帮助学生重新考虑问题的解答,适当修改甚至变更策略,直到尝试过解答的各种形式以后,找到一个可拓展到原来的问题为止.因此类比一定要找准类比对象,防止类比思想的陷阱和形式上的类比，绝不能为了类比而类比.

参考文献:

1.[美]乔治·波利亚. 数学与猜想.北京：科学出版社，1984

2.中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版

社.2003

3.郑毓信. 数学思维与数学方法论[M]. 成都:四川教育出版社,2001. 4.徐斌艳等.数学课程与教学论.杭州:浙江教育出版社,2003. 5.马忠林等.数学学习论.广西教育出版社.2003

6.尚继慧.三角形的几个结论在空间中的类比. 数学通讯.2006 年第24 期

9