优选专业年级 学号 姓名 授课教师 座号 中国海洋大学 2008-2009学年 第2学期 期末考试试卷

数学科学 学院 《线性代数》 课程试题(A卷) 共 4 页 第 1 页

考试说明：本课程为闭卷考试，满分为：100分。 题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 -------------------------------装装--------------------------------订订--------------------------------线线-------------------------------- -注意：本试卷共六大题，请将答案写在答题纸上。 符号说明： r(A)表示矩阵A的秩，A*表示矩阵A的伴随矩阵，In表示n阶单位矩阵，A表示矩阵A的转置矩阵，Aij表示aij的代数余子式。 一．单项选择题（每题3分，共18分） 1．设A,B,O都是n阶方阵，则( )。 TT A. A?B?A?B； B. ?A?B??A?B； TT C. 若AB?O，则A?O或B?O； D. AB?BA. 2. 设向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则下列命题不正确的是( )。 A. 向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关； B. 向量组?1,?1??2,?1??2??3,?1??2??3??4线性无关； C. 若存在常数k1,k2,k3,k4，使k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0成立， 则k1?k2?k3?k4?0； D. ?4不能由?1,?2,?3线性表示.

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3. 设A,B均为n(n?3)阶非零方阵，且AB?O,则下列结论错误的是( )。 A. r(A),r(B)都小于n； B.若r(B)?2，则r(A*)?0； C. 若A?B?In，则r(A)?r(B)?n； D. r(A*)?1. 4．设A,B均为n阶实对称矩阵，若存在正交矩阵P，使PAP?B成立. 现有四个命题： ①A与B合同 ； ②A?B； ③若A为正定矩阵，则B也是正定矩阵； ?1-------------------------------装装--------------------------------订订--------------------------------线线-------------------------------- -④A与B有相同的特征值和特征向量. 以上命题正确的是（ ）。 A. ②； B.①②； C.①②③； D.②③④. 5. 设A为m?n矩阵，若非齐次线性方程组AX?b有多个解，则（ ）。 A. r(A)?m； B. A的列向量组线性无关； C. AX?0有非零解； D. A有可能为零矩阵. 6. 设A为n阶实对称的正定矩阵，则下列描述不正确的是（ ）。 2A. AX?0可以有非零解； B. A是正定矩阵； C. A?In是正定矩阵； D. A的特征值全大于0. 二．填空题（每题3分，共21分） *?11．设A,B均为3阶方阵，且A??1，B?3，则2AB? 。 2. 已知3阶非零实方阵A满足A?A，则A? 。 *T?100???3. ?001??010???2009?712??010?????2?10100?????013??001?????2008? 。 4. 已知4元非齐次线性方程组AX?b，r(A)?r(A,b)?3，又知?1,?2,?3为 AX?b的3个解，且?1??4,?1,0,3?，?2?2?3??3,0,?3,6?，则AX?b 的全部解为 。 数学科学 学院 《线性代数》 课程试题(A卷) 共 4 页 第 3 页

TT 2225. 二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?2x1x2?4x1x3?10x2x3，则 f(x1,x2,x3)的秩为 。 30226. 设行列式为0?742420502，则第四行各元素的代数余子式之和为 . 08TT7. 若??2为3阶矩阵A的一个特征值，x1??1,0,1?，x2??2,1,0?为矩阵 A的对应于??2的特征向量，向量???0,?1,2?，则A?? 。 三．计算下列各题（28分） T310?1211.计算4阶行列式0?1100?1a112. 求n阶行列式D?1?11a20?0100； 15?100的值，其中ai?0,i?1,2,?,n。 ?0?a3??0?an?102??21?????3．设矩阵A??3?11?,B???13?满足方程AX?B，求矩阵X。 ?218??91?????34. 已知R的两组基为?1??1,0,0?,?2??1,?1,0?,?3??1,1,1?与 TTT?1??1,2,1?,?2??2,3,3?,?3??3,7,1?，求： （1）基??1,?2,?3?到基??1,?2,?3?的过渡矩阵； （2）向量???5,2,1?在基??1,?2,?3?下的坐标。

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TTTT

222四. 设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x3?4x2x3，利用正交变换法将二次型

（13分） f化为标准型，并写出正交矩阵。

?3x1?x2?x3?x4?0五. 设齐次线性方程组为?，

x?2x?x?x?0234?1（1）求方程组的基础解系，（2）将基础解系正交化、单位化。（10分） 六．设向量组?1,?2,?,?n线性无关，试证明：

（1）若非零向量?与向量组?1,?2,?,?n中的每个向量都正交，则

?1,?2,?,?n,?线性无关；

（2）若?1可由?1,?2,?,?n表出，而?2不能由?1,?2,?,?n表出， 则?1,?2,?,?n,?1??2线性无关。（10分）

《线性代数》课程试题(A卷)答案