1＞0，分别表示ck和又ck'，根据ck＜＜1求得c≥1，再根据ck'＜0，判断出单调递增知ck'≥c1'求得＜﹣222解答： 解：（1）由a1=1，a2=ca1+c3=（2﹣1）c+c 3232a3=ca2+c?5=（3﹣1）c+c， 2nn﹣1猜测an=（n﹣1）c+c， 下面用数学归纳法证明， 当n=1是，等式成立 ，最后综合答案可得． 假设当n=k，等式成立即ak=（k﹣1）c+c， k+12k+1k2k+1k则当n=k+1时ak+1=cak+c（2k+1）=（k+2k）c+c=[（k+1）﹣1]c+c， 2nn﹣1综上an=（n﹣1）c+c，对任意n∈N都成立． （2）由a2k＞azk﹣1得 22k2k﹣122k﹣12k﹣2[（2k）﹣1]c+c＞[（2k﹣1）﹣1]c+c， 2k﹣2222因c＞0，所以（4k﹣1）c﹣（4k﹣4k﹣1）c﹣1＞0 解此不等式得c＞ck，或c＜ck'，其中 ck= 2kk﹣1ck'=易知又由2 ck=1 ＜=4k+1，知 ck＜＜1 因此由c＞ck对一切k∈N成立得c≥1 又ck'=**＜0，可知 单调递增，故ck'≥c1'对一切k∈N成立，因此由c＜ck'对一切k∈N成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞] 点评： 本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力． 第29页（共42页）

21．（2010?安徽模拟）已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1?（n=0，

n

1，2，…）时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1），设数列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定义．

（1）求x1、x2和xn的表达式；

（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点． 考点： 数列的极限． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）依题意f（0）=0，又由f（x1）=1，进而利用斜率公式得x1=1，再由当n≤y≤n+1?n（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1），可得xn的递推关系，再利用累加法求得xn的表达式． （2）先求出f（x）的表达式，再根据b的取值情况分别求得f（x）的定义域． （3）法1：分情况用数学归纳法证明． n 法2：分情况利用当xn＜x≤xn+1时有f（x）﹣f（xn）=b（x﹣x0）＞x﹣xn（n≥1），从而f（x）﹣x＞f（xn）﹣xn．进而得解． 解答： 解：（1）依题意f（0）=0，又由f（x1）=1，当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b=1的线段，故由0 得x1=1． 又由f（x2）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由，即得． n﹣1记x0=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b． 又f（xn）=n，f（xn﹣1）=n﹣1； 所以． ，故得由此知数列{xn﹣xn﹣1}为等比数列，其首项为1，公比为． 因b≠1，得 =， 第30页（共42页）

即． （2）当0≤y≤1，从Ⅰ可知y=x，当0≤x≤1时，f（x）=x． 当n≤y≤n+1时，即当xn≤x≤xn+1时，由Ⅰ可知f（x）=n+b（x﹣xn）?（xn≤x≤xn+1，n=1，2，3）． n为求函数f（x）的定义域，须对进行讨论． 当b＞1时，当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大． 综上，当b＞1时，y=f（x）的定义域为当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）． （3）证法一：首先证明当b＞1，用数学归纳法证明： ； ； 时，恒有f（x）＞x成立． （ⅰ）由（2）知当n=1时，在（1，x2]上，y=f（x）=1+b（x﹣1）， 所以f（x）﹣x=（x﹣1）（b﹣1）＞0成立 （ⅱ）假设n=k时在（xk，xk+1]上恒有f（x）＞x成立． 可得f（xk+1）=k+1＞xk+1， k+1在（xk+1，xk+2]上，f（x）=k+1+b（x﹣xk+1）． k+1k+1所以f（x）﹣x=k+1+b（x﹣xk+1）﹣x=（b﹣1）（x﹣xk+1）+（k+1﹣xk+1）＞0也成立． 由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在（xn，xn+1]上都有f（x）＞x成立． 即时，恒有f（x）＞x． 其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立． 故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点． 证法二：首先证明当b＞1，对任意的n时，恒有f（x）＞x成立． ，存在xn，使xn＜x≤xn+1， 此时有f（x）﹣f（xn）=b（x﹣x0）＞x﹣xn（n≥1）， 所以f（x）﹣x＞f（xn）﹣xn． 又所以f（xn）﹣xn＞0， 第31页（共42页）

， 所以f（x）﹣x＞f（xn）﹣xn＞0， 即有f（x）＞x成立． 其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立． 故函数f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点． 本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力． 点评： 本题主要考查函数与数列以及极限的综合知识，考查知识的归纳、推理和综合运用的能力，能力层次要求高，要理解掌握本题的思想方法． 22．（2009?陕西）已知数列{xn}满足x1=，xn+1=（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：

．

，n∈N；

*

考数列的函数特性；数学归纳法． 点： 专证明题；压轴题． 题： 分（1）对于数列{xn}的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的析单调性，然后再利用数学归纳法进行证明． ： （2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成的形式，然后结合已知条件进行证明． 解证明：（1）由x1=，xn+1=答： ∴，， ，… 由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2 易知x2k＞0，那么 =即x2（k+1）＞x2（k+1）+2 第32页（共42页）