∴ 又∴ ． 点评： 本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题．考查了学生对数列知识的综合掌握． 13．（2006?天津）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且

（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．

（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值； （2）当λ＞0时，证明

；当λ＞1时，证明：

．

考点： 等比数列的性质；不等式的证明． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： 36（1）根据把x1=x2=1代入求得x3，同理可求得x4=λ，x5=λ，进而根据等比中项的性质求得λ． （2）根据根据不等式性质可知有≥…≥=λn﹣1；=…=λn﹣1 进而可得出，再看当λ＞1时得出≥，即≥\\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}，代入\\frac{{x}_{1}﹣{y}_{1}}{{x}_{2}﹣{y}_{2}}+\\frac{{x}_{2}﹣{y}_{2}}{{x}_{3}﹣{y}_{3}}+…+\\frac{{x}_{n}﹣{y}_{n}}{{x}_{n+1}﹣{y}_{n+1}}，原式得证． 第17页（共42页）

解答： （1）解：由已知x1=x2=1，且36 226∴x3=λ，同理可知x4=λ，x5=λ，若x1、x3、x5成等比数列，则x3=x1x5，即λ=λ．而λ≠0，解得λ=±1． （2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0，yn＞0．由不等式的性质，有≥…≥ =λn﹣1； 另一方面，=…=λn﹣1． 因此，=（n∈N）．故**（n∈N）． *（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，yn＞xn≥1（n∈N）． 又由（Ⅰ）（n∈N），则*≥， 从而≥（n∈N）． *∴ 点评： 本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证． 14．（2006?天津）已知数列{xn}满足x1=x2=1并且3，4，…）．

（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值； （2）设0＜λ＜1，常数k∈N且k≥3，证明

考等比数列的性质；等差数列的前n项和；数列的应用；不等式的证明． 点为非零参数，n=2，

*

．

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： 专计算题；证明题；压轴题． 题： 分析（1）令n=2，3，4代入到： 2为非零参数，n=2，3，4，…）中得到x1、x3、x5若它们成等比数列则根据x3=x1x5，即求出λ即可； （2）设，由已知，数列{an}是以*为首项、λ为公比的等比数列，化简不等式左边由0＜λ＜1，常数k∈N且k≥3得证． 解解：（1）解：由已知x1=x2=1，且答： 若x1、x3、x5成等比数列， 226则x3=x1x5，即λ=λ．而λ≠0， 解得λ=±1． （2）证明：设，由已知，数列{an}是以． 为首项、λ为公比的等比数列， 故， 则=λn+k﹣2．λn+k﹣3n﹣1λ ． 因此，对任意n∈N，==* =． 当k≥3且0＜λ＜1时，， 第19页（共42页）

所以． 点本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差评数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力． ： 15．（2005?山东）已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N） （I）证明数列{an+1}是等比数列；

2n

（II）令f（x）=a1x+a2x+…+anx，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）并比较2f'（1）

2

与23n﹣13n的大小． 考点： 等比关系的确定；导数的运算；不等式比较大小． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （I）根据an+1=Sn+1﹣Sn，得到n≥2时an+1和an关系式即an+1=2an+1，两边同加1得到an+1+1=2（an+1），最后验证n=1时等式也成立，进而证明数列{an+1}是等比数列． （II）通过（I）{an+1}的首项为5公比为2求得数列an+1的通项公式，进而求得an的通项公式，代入f（x）进而求出f'（x），再求得f‘（1），进而求得2f‘（1）．要比较*

2f'（1）与23n﹣13n的大小，只需看2f′（1）﹣（23n﹣13n）于0的关系． *解答： 解：（I）由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N）， 可得n≥2，Sn=2Sn﹣1+n+4两式相减得Sn+1﹣Sn=2（Sn﹣Sn﹣1）+1即an+1=2an+1 从而an+1+1=2（an+1） 当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11 从而a2+1=2（a1+1） *故总有an+1+1=2（an+1），n∈N又a1=5，a1+1≠0 从而=2即数列{an+1}是等比数列； n22（II）由（I）知an=3×2﹣1 2nn﹣1因为f（x）=a1x+a2x+…+anx所以f′（x）=a1+2a2x+…+nanx 2n从而f′（1）=a1+2a2++nan=（3×2﹣1）+2（3×2﹣1）+…+n（3×2﹣1） =3（2+2×2++n×2）﹣（1+2++n）=3（n﹣1）?22n2nn+1﹣2+6． 由上2f′（1）﹣（23n﹣13n）=12（n﹣1）?2﹣12（2n﹣n﹣1） n=12（n﹣1）?2﹣12（n﹣1）（2n+1） n=12（n﹣1）[2﹣（2n+1）]① 2当n=1时，①式=0所以2f'（1）=23n﹣13n； 2当n=2时，①式=﹣12＜0所以2f'（1）＜23n﹣13n nn01n﹣1n当n≥3时，n﹣1＞0又2=（1+1）=Cn+Cn++Cn+Cn≥2n+2＞2n+1 n2所以（n﹣1）[2﹣（2n+1）]＞0即①＞0从而2f′（1）＞23n﹣13n． 点评： 本题主要考查了数列中等比关系的确定．往往可以通过，q为常数的形式来第20页（共42页）