10．（2006?北京）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn． （Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式． 考点： 等差数列的通项公式；等差数列的性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （Ⅰ）本题是关于等差数列的基本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项． （Ⅱ）根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个范围，根据{an}的首项a1及公差d都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式． 解答： 解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14， 又a11=a1+10d=0， ∴解得d=﹣2，a1=20． ∴{an}的通项公式是an=22﹣2n， （Ⅱ）由 得 即 由①+②得﹣7d＜11． 即d＞﹣． 由①+③得13d≤﹣1 即d≤﹣于是﹣ ＜d≤﹣ 又d∈Z，故 d=﹣1 ④ 将④代入①②得10＜a1≤12． 又a1∈Z，故a1=11或a1=12． ∴所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12﹣n和an=13﹣n， 点评： 本题考查数列的基本量，是一个综合问题，题目中结合不等式和方程的解法，根据题目所给的关系，写出关于数列的首项和公差的方程组，解方程组得到公差和首相，再写出通项公式． 第13页（共42页）

11．（2006?山东）已知数列{an}中，

，点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，其中n=1，

2，3…．

（Ⅰ）令bn=an+1﹣an﹣1，求证数列{bn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项；

（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列

为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由． 考等比关系的确定；等差关系的确定；数列的求和；数列递推式． 点： 专计算题；压轴题． 题： 分（Ⅰ）把点（n、2an+1﹣an）代入直线方程可得2an+1=an+n代入bn和bn+1中两式相除结析： 果为常数，故可判定{bn}为等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得数列{bn}的通项公式，进而可求得数列的前n项和，进而可得{an}的通项公式． （Ⅲ）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ=2时，数列解解：（Ⅰ）由已知得答： ∵又bn=an+1﹣an﹣1，bn+1=an+2﹣an+1﹣1， 是等差数列． ， ， ∴===， ∴{bn}是以为首项，以为公比的等比数列． ， ， ，， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴∴… ∴将以上各式相加得： 第14页（共42页）

， ∴∴， ． ∴． 是等差数列． （Ⅲ）存在λ=2，使数列由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn=n﹣2 ∴ 又= ∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列． 点本题主要考查了等比关系和等差关系的确定．要利用好an和an﹣1的关系． 评： 12．（2006?山东）已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x+2x的图象上，其中n=1，2，3，…

（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列； （2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项； （3）记

，求数列{bn}的前n项Sn，并证明

．

2

考点： 等比关系的确定；数列的求和；数列递推式． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 2分析： （1）把点（an，an+1）代入函数式，整理得an+1+1=（an+1），两边取对数整理得第15页（共42页）

，进而判断{lg（1+an）}是公比为2的等比数列． （2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+an）}的通项公式，进而求的an代入到Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）求的Tn． （3）把（2）求的an代入到，用裂项法求和求得项，又，原式得证． 2解答： 解：（Ⅰ）由已知an+1=an+2an， 2∴an+1+1=（an+1） ∵a1=2 ∴an+1＞1，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an）， 即 ∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+an）=2∴∴ =31+2+22n﹣1?lg（1+a1）= ∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）=（Ⅲ）∵an+1=an+2an ∴an+1=an（an+2） ∴ 2+…+2n﹣1= ∴ 又∴ = ∴Sn=b1+b2+…+bn=∵第16页（共42页）