（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）．

25．（2007?四川）已知函数f（x）=x﹣4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数． （Ⅰ）用xn表示xn+1；

（Ⅱ）证明：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2 （Ⅲ）若x1=4，记

26．（2006?江苏）设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn=an﹣an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），

证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）

27．（2006?辽宁）已知函数f（x）=

，其中a，b，c是以d为公差的等差

]上，f′（x）在x1处取得

，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．

2

数列，且a＞0，d＞0．设x0为f（x）的极小值点，在[1﹣

最大值，在x2处取得最小值，将点（x0，f（x0）），（x1，f′（x1）），（x2，f′（x2，f（x2））依次记为A，B，C． （Ⅰ）求x0的值；

（Ⅱ）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为2+，求a，d的值．

28．（2005?江西）已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=（1）证明an＜an+1＜2，n∈N； （2）求数列{an}的通项公式an．

29．（2003?江苏）设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x，C上的点Q1的横坐标为a1（0＜a1＜a）．从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1，再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{an}． （Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求{an}的通项公式； （Ⅱ）当

时，证明

；

2

（4﹣an），n∈N．

（Ⅲ）当a=1时，证明．

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30．（1977?北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？

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2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2013?黑龙江）若存在正数x使2（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 考点： 其他不等式的解法；函数单调性的性质． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可． x

x解答： 解：因为2（x﹣a）＜1，所以， 函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1， 所以a的取值范围是（﹣1，+∞）． 故选：D． 点评： 本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力． 2．（2012?陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ） A．a＜v＜

B．v=

C．＜v＜ D．v=

考点： 基本不等式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v==及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小 解答： 解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S 则v== ∵0＜a＜b ∴a+b∴＞0 ∵v﹣a=∴v＞a 综上可得，

== 第7页（共42页） 故选A 点评： 本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用． 3．（2008?江西）已知函数f（x）=2x+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ） A．[﹣4，4] B．（﹣4，4） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4） 考点： 一元二次不等式的应用． 专题： 压轴题． 2分析： 对函数f（x）判断△=m﹣16＜0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案． 2解答： 解：当△=m﹣16＜0时，即﹣4＜m＜4，显然成立，排除D 当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A； 2当m=﹣4，f（x）=2（x+2），g（x）=﹣4x显然成立，排除B； 故选C． 点评： 本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式． 2

4．（2006?重庆）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（ ） A． B． C． D． 考基本不等式在最值问题中的应用． 点： 专压轴题． 题： 分已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式 析： 解解：若a，b，c＞0且， 答： 所以，∴， 则（2a+b+c）≥， 故选项为D． 点本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式． 评： 5．（2004?山东）a+b=1，b+c=2，c+a=2，则ab+bc+ca的最小值为（ ） A．

﹣ B．﹣

222222

C．﹣﹣ D．+

考点： 基本不等式． 专题： 计算题；压轴题． 第8页（共42页）