2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

一．选择题（共5小题）

1．（2013?黑龙江）若存在正数x使2（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 2．（2012?陕西）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ） A．a＜v＜

3．（2008?江西）已知函数f（x）=2x+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ） A．[﹣4，4] B．（﹣4，4） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4）

4．（2006?重庆）若a，b，c＞0且A． B． C．

2

2

2

2

22x

B．v= C．＜v＜ D．v=

，则2a+b+c的最小值为（ ）

D．

2

5．（2004?山东）a+b=1，b+c=2，c+a=2，则ab+bc+ca的最小值为（ ） A．

﹣ B．﹣

C．﹣﹣

D．+

二．解答题（共25小题） 6．（2007?重庆）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），

*n∈N．

（1）求{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足（an+3），n∈N．

7．（2007?上海）如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am﹣

，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，1，…，am=a1，即ai=am﹣i+1（i=1，2，…，m）

2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．

（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出{bn}的每一项；

（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；

（3）设{dn}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）．

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*

，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2

8．（2007?福建）数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

9．（2007?上海）若有穷数列a1，a2…an（n是正整数），满足a1=an，a2=an﹣1…an=a1即ai=an

，就称该数列为“对称数列”． ﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n）

（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项

（2）已知{cn}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且ck，ck+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2…2﹣1

成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．

10．（2006?北京）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn． （Ⅰ）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．

11．（2006?山东）已知数列{an}中，

，点（n，2an+1﹣an）在直线y=x上，其中n=1，

2

m

*

2，3…．

（Ⅰ）令bn=an+1﹣an﹣1，求证数列{bn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项；

（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．

12．（2006?山东）已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x+2x的图象上，其中n=1，2，3，…

（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列； （2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项； （3）记

13．（2006?天津）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且

（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．

（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；

，求数列{bn}的前n项Sn，并证明

．

2

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（2）当λ＞0时，证明；当λ＞1时，证明：

．

14．（2006?天津）已知数列{xn}满足x1=x2=1并且3，4，…）．

（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值； （2）设0＜λ＜1，常数k∈N且k≥3，证明

15．（2005?山东）已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N） （I）证明数列{an+1}是等比数列；

2n

（II）令f（x）=a1x+a2x+…+anx，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）并比较2f'（1）

2

与23n﹣13n的大小．

16．（2005?重庆）数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0（n≥1）．记

．

*

*

为非零参数，n=2，

．

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．

17．（2004?上海）设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线

222

C上的点，且a1=|OP1|，a2=|OP2|，…，an=|OPn|构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an． （1）若C的方程为出一个）

（2）若C的方程为

（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d=1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写

变化时，求Sn的最小值；

（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．

18．（2003?上海）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．

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120123

（1）求和：a1C2﹣a2C2+a3C2，a1C3﹣a2C3+a3C3﹣a4C3；

0

（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．

0123

（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：S1Cn﹣S2Cn+S3Cn﹣S4Cn+…+（﹣1）nnSn+1Cn．

19．（2014秋?周村区校级月考）已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145． （1）求数列{bn}的通项bn； （2）设数列{an}的通项an=log（a1+

）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试

比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论．

20．（2010?重庆）在数列{an}中，a1=1，an+1=can+c（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0． （1）求{an}的通项公式；

（2）若对一切k∈N*有a2k＞azk﹣1，求c的取值范围． 21．（2010?安徽模拟）已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1?（n=0，

n

1，2，…）时，该图象是斜率为b的线段（其中正常数b≠1），设数列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定义．

（1）求x1、x2和xn的表达式；

（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．

22．（2009?陕西）已知数列{xn}满足x1=，xn+1=（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：

23．（2009?上海）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列

*

（1）若an=3n+1，是否存在m，n∈N，有am+am+1=ak？请说明理由；

n

（2）若bn=aq（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有bm?bm+1=bk，试求a、q满足的充要条件；

n

（3）若an=2n+1，bn=3试确定所有的p，使数列{bn}中存在某个连续p项的和式数列中{an}的一项，请证明．

24．（2008?北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1﹣1，a2﹣1，…，an﹣1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到

222

数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b1+b2+…+bm．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）． （Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；

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n+1

，n∈N；

*

．