第85课时：第十章 排列、组合和概率——二项式定理（2）

课题：二项式定理（2）

一．复习目标：

1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和． 2．能熟练地逆向运用二项式定理求和．

3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式． 二．课前预习：

1．(2?3)100的展开式中无理项的个数是 （ A ）

(A)84 (B)85 (C)86 (D)87

32.设f(x)?x5?5x4?10x3?10x2?5x?1，则f?1(x)等于 （ C ）

(A)1?5x (B)1?5x?2 (C)1?5x?2 (D)1?5x

12n012n?22Cn???2nCn?2187，则Cn?Cn?Cn???Cn?128． 3．如果1?2Cn111211n4.1?Cn=． ?Cn???(?1)nCn23n?1n?15.(3x?2y?z)9展开式中含x2y3z4的项为?90720x2y3z4． 6．若(1?2x)100?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a100(x?1)100， 则a1?a3?a5???a99

四．例题分析：

12n?a3Cn???an?1Cn例1．已知{an}是等比数列，公比为q，设Sn?a1?a2Cn（其

5100?1?.

21012n?Cn?Cn?Cn???Cn中n?2,n?N?），且Sn，如果limSn存在，求公比q的n??S1n取值范围．

1?2n，解：由题意an?a1?qn?1，Sn12nSn?a1?a1qCn?a1q2Cn???a1qnCn?a1(1?qC?qC???qC)?a1(1?q)1n22nnnnn(q?0)

SnSna1(1?q)n1?q1?q1?qnlim∴1?．如果存在，则或||?1?1， ?a()1n??S1222Sn2nn∴?2?1?q?2或q?1，故?3?q?1且q?0．

例2．(1)求多项式(3x4?x3?2x?3)102?(3x?5)4?(7x3?5x?1)67展开式各项系数和．

(2)多项式x1000?x?(?x3?2x2?2)1000展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和各是多少？

解：（1）设f(x)?(3x4?x3?2x?3)102?(3x?5)4?(7x3?5x?1)67

?a0?a1x?a2x2??anxn(n?N)，

其各项系数和为a0?a1?a2???an． 又∵f(1)?a0?a1?a2??an?(3?1?2?3)102?(3?5)4?(7?5?1)67?16?3102，

∴各项系数和为16?3102．

（2）设f(x)?x1000?x?(?x3?2x2?2)1000?a0?a1x???a3001x3001，

∴f(1)?a0?a1?a2???a3001?0，f(?1)?a0?a1?a2???a3001?2，故

a1?a3???a3001??1，a0?a2???a3000?1，

∴f(x)展开式中x的偶次幂各项系数和为1，x奇次幂各项系数和为-1．

k?3n(n?N)； 例3．证明：（1）?2kCnk?0n01232n?12n2n?1?C?2C?C???C?2C?3?2(n?N)； （2）2C2n2n2n2n2n2n112n?12?Cn?22???Cn?n2?n(n?1)?2n?2 （3）2?(1?)n?3(n?N)；（4）Cnn

由(i)知

小结：

五．课后作业： 1．若(x3?1n)的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项为（ C ） 2x(A)462 (B)252 (C)210 (D)10

2．用88除8788?7，所得余数是 （ ）

(A)0 (B)1 (C)8 (D)80

3．已知 4月20日是星期五，那么1090天后的今天是星期 ．

4．某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.02%，则100天后这家公司的股票指数约为2.442（精确到0.001）． 5．已知(3?2x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则

（1）a2?a3?a4?a5的值为568；（2）|a1|?|a2|?|a3|?|a4|?|a5|?2882． 6．若(ax?1)2n和(x?a)2n?1的展开式中含xn项的系数相等（n?N*，a?0），则

12a的取值范围为(,]

230123n?Cn?2Cn?3Cn???nCn?500的最大整数n． 7．求满足Cn

原不等式化为n·2n-1＜499

∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500． 当n=7时，7·26=7×64=448＜449． 故所求的最大整数为n=7．

021222n22)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C28．求证：(Cnn

证明 由(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n，两边展开得：

比较等式两边xn的系数，它们应当相等，所以有：