概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1

.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C（3） A，B，C都发生； （4） A，B，C（5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=(5)

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC

ABC=ABC (6) ABC

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C

ABC∪ABC

(7)

(8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪3.

.

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A【解】 P（

B)=0.3，求P（AB）. P(AB)]

AB）=1

=1

P（AB）=1

[0.7

[P(A)

0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1） 在什么条件下P（AB（2） 在什么条件下P（AB

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0

求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)

P（AC）=1/12，

P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)

1

=

7.

111++44321313=124

52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

533【解】 p=C13C13C13C13/C52 8.

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为7，有利事件仅1个，故 P（A1）=

5

175=（

1767）

5

（亦可用独立性求解，下同）

5

（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为6，故

65P（A）=572

=()

5

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1

9.

P(A1)=1(

17)

5

.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

A）的概率.

（2） n（1） n件是同时取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P（A）=CMCN?Mmn?m/CnN

n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m次为正品的组

合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从NmmM件次品中取nm件的排列数为PN?M种，故

mn?mCmnPMPN?MP（A）=nPNn?m

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

n?mCmMCN?MP（A）=

CnN

可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N种，n次抽取中有m次

为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有M种取法，nmnmm次取得次品，每次都有NM种取法，共有（NM）nm种取法，

2

故

mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为率为

MN，则取得m件正品的概

?M??M?P(A)?C???1??N??N??mnmn?m

11..见教材习题参考答案.

强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只

【解】设A={发生一个部件强度太弱}

33P(A)?C110C3/C50?1

196013.

个是白球的概率.

7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两

【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?

C73522 35故 P(A214.

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215.

A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94

A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

11131C4()()5212131224?2 ?【解】（1） p1?C5()() (2) p2?222325/32516.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.

【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

3

P(3i?0212AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)?

C3(0.7)=0.32076

17

222?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3

5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

41111C5C2C2C2C213【解】 p?1?? 4C102118.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.

【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1）

p(BA)?P(AB)0.1??0.2

P(A)0.5（2） 19.

p(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

3

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为2=8，故

P(BA)?P(AB)6/86??

P(A)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?20.

设男人和女人各占人数的一半）.

5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P(AB)? ?21.

P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520?

0.5?0.05?0.5?0.0025219∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

4