工业机器人基础讲义 第2章 工业机器人运动学
2.3.3 平移加旋转的齐次变换 平移变换算子和旋转变换算子可以组合在一个(4×4)的矩阵中。若例2-5中的点W还要作4i-3j+7k的平移，如图2-15所示，则只要再左乘上平移变换算子，即可得到最后E点的列阵表达式，即：
e?Trans(4,?3,7)?Rot(y,90)?Rot(z,90)?u321??Z ?1?0???0??0010000104??0???31??7??0??1??0001010000??7??0????031?????0??2??0????1??1??0001010004??7??6???????334??????7??2??10??????1??1??1?O U X E 90? 7 W -3 4 90? Y V ?0?1式中：??0??0001010004???3?为平移加旋转的复合变换矩阵。 7??1?图2-15 平移加旋转变换 讲课时分析一下其组成特点。
[例2-7] 图2-8所示的楔块Q，在图(a)情况下描述它的齐次矩阵为：
?1?0???0??1?1001?102110211401?1??4? 0??1?Q(a)试证明楔块经过绕固定坐标系OXYZ的Z轴旋转90?，再绕Y轴旋转90?，最后沿X轴方向平移4后[见图2-8(b)]的齐次矩阵表达式为：
?4?1???0??14?1016?101610141414???1? 4??1?Q(b) 证明：因为楔块从图(a)至图(b)的所有变换都是相对于固定坐标系OXYZ进行的，所以各坐标变换算子应该依次左乘，即：
Q(b)?Trans(4,0,0)?Rot(y,90)?Rot(z,90)?Q(a)321???1?0???0??0?0?1???0??001000010001010004??0??00??0???1??1??04??1??00??0??0??1??10100?100110000??0??01??0??0??1??0?10211021?1000140100100??1??00??0??0??1??1?10014?101?10216?1016101102141411401?1??4?0??1?4???1?4??1?
?1??4??41???0??0??1??1作者：黄海东 第 13 页 共 33 页
工业机器人基础讲义 第2章 工业机器人运动学
?0?1式中??0??0001010004??0?即为楔块平移加旋转的复合变换矩阵。 0??1? 讲课时分析一下其组成特点。 [证毕]。
2.3.4 旋量的概念
旋量Screw(k，r，?)表示沿k轴移动r，并绕k轴转动?角的综合齐次变换。
旋量Screw(k，r，?)与移动和转动发生的先后次序无关，只要它们连续即可，即：
Screw(k，r，?)＝Rot(k，?)Trans(k，r)＝Trans(k，r)Rot(k，?) (2-19a) 例如，沿Z轴移动r，并绕Z轴转动?角的综合变换为：
?c??s???0??0?s?c?0000100??1??00??0??0??1??0010000100??c???0s????r??0??1??0?s?c?0000100??1??00???r??0??1??0010000100??c???0s???r??0??1??0?s?c?0000100??0? 0??1?式中：c表示cos，s表示sin。
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工业机器人基础讲义 第2章 工业机器人运动学
2.4 工业机器人正向运动学 工业机器人可以认为是一系列通过关节连接起来的连杆组成的开链机构（P5图1-4）。手部相对固定坐标系的位姿与各连杆之间的相互关系直接相关。因此，在研究手部相对于机座的几何关系时，首先要分析相邻两个连杆之间的关系，这种关系可以用固连于相邻两个连杆上的坐标系之间的关系来描述。
2.4.1 工业机器人连杆坐标系的建立及其齐次变换矩阵
在进行工业机器人正向运动学分析时，首先必须建立连杆坐标系，并给出相邻两个连杆坐标系之间的齐次变换矩阵。下面我们介绍一种由Denavit和Hartenberg提出的通用方法，即D—H法。
2.4.1.1 连杆参数及连杆坐标系的建立 工业机器人相邻连杆之间的关系，与连杆自身的特征和连杆之间的连接方式有关。因此，我们首先应该清楚如何对连杆的特征和连接方式进行描述。 一、连杆特征的描述
如图2-16所示，连杆i两端有关节i和i+1。该连杆的特征可以用两个参数来描述：一个是两个关节轴线沿公垂线的距离li，称为连杆长度；另一个是在垂直于公垂线的平面内两个轴线的夹角?i，称为连杆扭角。这两个
关节i
参数为表述连杆特征的尺寸参数。连杆长度li关节i+1 恒为非负数，但连杆扭角?i可正、可负。?i的正负是这样规定的：公垂线的正向规定为从连杆i 关节i指向关节i+1，按右手法则从轴线i绕公垂线转至轴线i+1，逆时针为正，瞬时针为?i 负。两轴线平行时，?i＝0；两轴线相交时，li
li ＝0，此时扭角?i为两轴线的夹角，正负与Xi图2-16 连杆尺寸参数li及?i 轴选向有关。
二、连杆连接方式的描述
如图2-17所示，连杆i与连杆i-1通过关节i相连，因此，关节i的轴线有两条公垂线与它垂直。两条公垂线的相对位置可用两个参数di和?i来确定，其中di是沿关节i轴线测量的两个公垂线与i轴线交点的距离，当关节轴线相交时，di为i轴线上两交点的距离；?i是在关节i轴线的垂直平面内两个公垂线的夹角，当公垂线不存在时，对旋转关节?i仍然存在。di和?i是表达相邻连杆连接关系的参数。di和?i都可正、可负(详见表2-1)。
这样，相邻两个连杆之间的关系可以由四个参数所描述：其中两个参数（li和?i）描述连杆i的尺寸；另外两个参数（di和?i）描述连杆i和连杆i-1之间的连接关系。对于旋转关节，?i是关节变量，其它三个参数固定不变；对于移动关节，di是关节变量，其它三个参数固定不变。(对照图2-17解释，一个关节即为一个自由度) 三、连杆坐标系的建立
D-H法要求按下面规则建立连杆i的坐标系{i}（简称i系）：
1）坐标系{i}与连杆i固连。Zi轴与关节i+1的轴线重合，指向任意；
2）Xi轴与连杆i的两个关节轴线的公垂线重合，方向从关节i指向关节i+1。当li＝0
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工业机器人基础讲义 第2章 工业机器人运动学
时，取Xi＝?Zi-1×Zi，但Xi轴取向影响?i正负（图2-16）； 3）坐标系{i}的Yi轴按右手法则规定，即Yi＝Zi×Xi； 4）坐标系{i}的原点Oi取在Xi和Zi的交点上。当关节i的轴线与关节i+1的轴线相交
时，原点Oi取在两轴线的交点上；当关节i的轴线与关节i+1的轴线平行时，原点Oi取在使di＝0的地方。（对照图2-17解释）
关节i 关节i+1
?i ?i+1 关节i-1 连杆i
?i-1 连杆i+1
连杆i-1 Zi Zi-1
?i 连杆i-2 li li-1 Xi Xi-
1 Xi ?i
图2-17 连杆关系参数di及?i
图2-17画出了坐标系{i-1}和{i}的设定位姿（为什么叫设定位姿）。 在建立连杆坐标系时，下面四点值得注意：
1）连杆坐标系的建立不是唯一的。例如，虽然Zi轴与关节i+1的轴线重合，但Zi轴
的指向有两种选择；当Zi轴与Zi-1轴相交时，Xi轴的指向也有两种选择； 2）坐标系{i}也可以建立在关节i的轴线上，并使Zi轴与关节i的轴线重合；
3）建立不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会不同。应使描述连杆i的四个参数中尽可能多地为零；
4）与机座固连的{0}系原则上可以任意规定，但是，为了方便计算，一般应将{0}系建
立在连杆1的关节1的轴线上，并使{0}系与{1}系尽量靠近或重合（画极坐标型）。
现将连杆参数与坐标系的建立归纳为表2-1。
表2-1 连杆参数及坐标系
连杆i的参数
含义 di 符号 名称 正负号 按右手法则确定 与Zi-l正向一致为正 恒为非负数 按右手法则确定 ?i di li ?i 转角 Xi-l轴绕Zi-l轴转至与Xi轴平行时的转角 距离 Xi-l轴沿Zi-l方向移动至与Xi轴相交时发生的位移 长度 Zi-l轴沿Xi方向移动至与Zi轴相交时移动的距离 扭角 Zi-l轴绕Xi轴转至与Zi轴平行时的转角 连杆i的坐标系OiXiYiZi
性 质 转动关节为变量 移动关节为常量 转动关节为常量 移动关节为变量 常量 常量 原点Oi 坐标轴Zi 坐标轴Xi 位于连杆i两关节轴线之公垂线与与关节i+1的轴线重合，方向沿连杆i两关节轴线的公垂关节i+1轴线的交点处 任意确定 线，并指向i+1关节 坐标轴Yi 按右手法则确定 2.4.1.2 相邻两个连杆坐标系之间的齐次变换矩阵阵
建立了各连杆的坐标系后，i-1系和i系之间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来
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