说明

教材上的习题是主要依据该题解编辑，但题目次序不一致，见谅。

崔宏滨

几何光学

【2.1】光线以入射角i射到折射率为n的物体上，设反射光与折射光线成直角，问入射角与折射率之间的关系如何？ 解：?sini?nsini?，而i???2?i，?sini?ncosi，即tgi?n。

【2.2】把一片玻璃板放在装满水的玻璃杯上，光线应以什么样的角度射到玻璃板上才能够在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33 能接收到这束全反射光吗？

解：发生全反射时，光线从玻璃向水的入射角应满足

ngsiniC?nw。

此时若从空气到玻璃板入射，入射角i应满足sini?ngsiniC，即sini?nw。 由于nw?1.33?1，所以上述情况不可能发生。

【2.3】红光和紫光对同种玻璃的折射率分别是1.51和1.53。当这些光线射到玻璃和空气的分界面上时，全反射的最小角度是多少？当白光以41o的角入射到玻璃和空气的界面上时，将会有什么现象发生？ 解：由于nsini?1，所以

ViC?arcsin1111R?arcsin?40.81?，iC?arcsin?arcsin?41.47?。 nV1.53nR1.51 1

以41o角入射，则紫光全反射；而红光大部分透射，仅有少部分发生反射。

【2.4】如图，以光线射入镜面间并反射n次，最后沿入射时的光路返回，试写出?i与?间的关系表达式。 解：

最后的反射之后，其对另一镜的入射角应为0。最后（第n次）的反射角为?n??，第n-1次的反射角为?n?1?2?。相邻的两次反射间，有关系式，

?m?(?/2??m?1)??/2??，即?m?1??m??。

则?1?(m?1)?m???(n?1)?n???n?。

【2.5】证明：当一条光线通过平板玻璃时，出射光线方向不变，只产生侧向平移。当入射角i1很小时，位移?x?n?1i1t。其中，n为玻璃的折射率，t为玻璃板的厚度。 n

证：如图，由于上下两面平行，且两侧折射率相等，所以在下表面的入射角等于上表面的折射角，下表面的折射角等于上表面的入射角。出射光线保持平行。

?x?BC?ABsin(i1?i2)?(t/cosi2)sin(i1?i2)?t(sini1cosi2?cosi1sini2)/cosi2

2

?t(sini1?cosi1sini1ii)，在小角度时，有sini1?i1，cosi1?1?(1)2，cosi2?1?(2)2

ncosi222i1?(1)2cosi1sini1ti2]?ti1(n?1)，即?x?n?1it 则t(sini1?)?1[n?1i22ncosi2nnn1?()2

【2.6】如图，一条光线通过一顶角为?的棱镜。（1）证明出射光线相对于入射光线的偏向

sin???；?时，有最小偏向角?m，而且，n?角为??i1?i1（2）证明在i1?i1???m?22，

sin式中n为棱镜材料的折射率，在已知?的情况下，通过测量?m，利用上式可以算出棱镜材料的折射率；（c）顶角?很小的棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为

??(n?1)?

证：（1）由于棱镜两侧面及其法线所构成的四边形中有一对直角，则

????????(???)??， i2?i2??i2?)?i1?i1??(i2?i2?)?i1?i1??? 而??(i1?i2)?(i1?求导数，有（2）上式对i1did??1?1，当该导数为0时，取得最小偏向角。 ??di1di1?di1di1di2di2? ?di2di2?di1?di1??sini1?，微分，得到而由折射定律nsini2?sini1，nsini2????cos2i2cos2i2ncosi2cosi1cosi2cosi1cosi2cosi2??(?1)????1，?， 即22????cosi1ncosi2cosi1cosi2cosi1cosi1cosi1cosi1?n?sin2i1n?sin2i1?????2i??i?i，只有才能成立。即，而。所以i?m1112?1?sin2i11?sin2i12 3

n?sini1?sini2sin???m?22sini1?sini2sin

sin???m?22?(3) 如果顶角很小， n?sin???m，可得?m?(n?1)? ?

【2.7】顶角为500的棱镜的?m?35，如果浸入水中，最小偏向角等于多少？水的折射率

?为1.33。

sin解：可得棱镜的折射率n????m?22sin50??35?sin2??1.599。浸入水中时，入射角为?50sin2n1sini1?nsini2，而满足最小偏向角时，i2??2，则sini1?nsini2?n1nsinn1?2?0.508，

??2i1???2?30.53??50??11.1? i1?30.53?，?m

【2.8】附图是一种求折射线方向的追迹作图法。例如为了求光线通过棱镜的路径，（如图b所示），可如图a以O为中心做二圆弧，其半径正比于折射率n,n?。作OR平行于入射线DE，作RP平行于棱镜第一界面的法线N1N1，则OP的方向即为第一次折射后光线的方向。再作QP平行于第二界面的法线N2N2，则OQ的方向即为出射线FG的方向，从而

?ROQ??即为偏向角，证明此法的依据。

证：如图所示，从圆心O向棱镜的界面法线做垂线OM、OT，根据作图方法，可知?ORM?i1，

4

而ORsin?ORM?n?sini1?OM，OPsin?OPM?nsin?OPM?OM，即

nsi?nOP?Mn?sii1，n由折射定律?OPM?i2，为第一界面的折射角。即OP为第一界?。??nsini2??OQsin?OQT?n?sin?OQT?OT，面的折射线。?OPT?i2又OPsini2?，于是?ROQ??。 由折射定律，?OQT?i1

【2.9】组和波罗棱镜由两块450角直角棱镜组成，利用两块直角棱镜的四个直角面上产生的全反射，使像倒转于凸透镜成实像的情况一致，试证明之。 证：如图。

【2.10】极限法测液体折射率的装置如附图所示，ABC是直角棱镜，其折射率ng已知，将待测液体涂一薄层于其上表面AB，再覆盖一块毛玻璃。用扩展光源在掠入射的方向上照明。从棱镜的AC面出射的光线的折射角将有一个下限i?。如用望远镜观察，则在视场中出现有明显分界线的半明半暗区。证明待测液体的折射率可以由下式算出：n?用这种方法测量液体的折射率，测量范围受什么限制？

2ng?sin2i?。

5

?，而nsini0?ngsini0?。 证：由于液体的折射率n?ng，则有sini??ngsini?ngcosi0222??ng?)?ngsin2i??ngcos2i0(1?sin2i0?n2sin2i0，由于是掠入射，在明暗区的边界，

i0??2222，故有sini??ng?n，即n?2ng?sin2i?。

测量时，要求n?ng。

【2.11】光从塑料棒的一端射入，若要保证射入的光总是在棒内全反射传播，其折射率至少

是多大？

解：sin?1?ncos?2，sin?1?n?nsin?2要发生全反射，nsin?2?sin?C?1/n，而?1可以取到?/2，则sin?1?1?n?nsin?2?n?1，即n?2，n?22222222222。

【2.12】在圆形木塞中心垂直插入一大头针，然后将其倒放浮于水面上，调节大头针露出的长度，使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。如果测得大头针露出木塞得长度为h，木塞直径为d，求水的折射率。

解：此时大头针顶发出的光线恰好发生全反射。即sin?1?1，而nsi2n?112h2?d?2tg?1?????n?1?() ，得到222hd1?sin?n?1??1

【2.13】如图所示，一束光线以入射角i射入折射率为n的球形水滴，求：（1）此光线在水滴内另一侧球面的入射角?，这条光线是被全反射还是部分反射？（2）偏向角?的表示式；（3）偏向角最小时的入射角i。

2 6

解：（1）由反射定律及球面的对称性，sini1?nsini??nsin?，sin??sini1/n，由于

sin??1/n，只有入射光对准球心入射时，才能发生全反射。

（2）????2????2[??(i1?i?)]???2(2??i1)，2(2??i1)取极大值即可。而2?等于圆心角?，2??i1等于入射光线与水平直径间的夹角，对准球心入射时为极大值。即入射角i1?0。

【2.14】水槽中盛水，深20cm，底部有一光源，水面上放一不透光纸片。要使从水面上任何角度都看不到光源，纸片的形状和面积应怎样？ 解：纸片应该是圆形的。tg??r/h，而sin??1/n，

tg2?r22?2r?nh/1?n??n所以sin??， 2221?tg?h?r2

【2.15】一玻璃杯，底部为凸球面，球面下嵌一画，空杯看去，与普通酒杯无异；注入酒后，则底部呈现美丽画面，请解释。

解：空杯成实像，注入酒后，相当于有一平凹透镜，画面经折射后成一放大虚像。

【2.16】一球面反射镜将平行光会聚在x0=20cm处；将水（折射率约为4/3）注满球面，光通过一张白纸片上的针孔射向反射镜，如图，距离x为多大时在纸片上成清晰的像？

解：无水时，球面的焦距为20cm，球面半径为r=2×20=40cm，注水后，其焦距

f?20/n?20/(4/3)?15cm，此时要成清晰实像，而且物距、像距相等，则有

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x?2f?30cm。

【2.17】导出宽光束经球面折射后严格成像的一对共轭点（即齐明点）的位置公式。

解：要宽光束严格成像，就是两点间沿任意路径的光程都相等。如图，取QC?n?r，nQ?C?nr，则Q、Q?即为一对齐明点。 n?QMMCn?，由于Q?为虚像点，则光程??MQ?Q?Cn?QMC与?MQ?C相似，则有

QMQ??nQM?n?MQ??0，由于M是任意点，所以沿任意路径，两点间等光程。

【2.18】

光的波动性

【3.1】将一厚度为d、折射率为n的平板玻璃片，使其法线与平行光线成i角地插入光线中，试比较插入前后，光线的相位改变多少？

解：

在这种情况下，只需要比较一下空间的同一波面在插入前后的相位差即可。

插入前，波面CD与AB间的光程差为BD，插入后，GF?d/cosi2，两波面间光程差为BG?nGF，而GD?GFcos(i1?i2)?dcos(i1?i2)/cosi2，插入前后的光程差改变为??nGF?GD?nd/cosi2?dcos(i1?i2)/cosi2?d/cosi2[n?cos(i1?i2)]

?d

n?cosi1cosi2?sini1sini2sini1sini1n?d(?cosi1?)cosi2cosi2ncosi28

n2?sin2i1n2?n2sin2i2n2cos2i2?d(?cosi1?)??cosi1???cosi1?ncosi2ncosi2ncosi2??cosi1?ncosi2?n1?sin2i2?cosi1?n2?sin2i1?cosi1

插入后CD波面位相的改变为???k??

【3.2】设有两个一维简谐平面波的波函数为

2?d? (n2?sin2i1?cosi1)，比插入前滞后。

E1(z,t)?4cos2?(3t?0.2z)，E2(z,t)?1cos(3.5t?7z) 2.5式中位移以cm为单位，时间以s为单位，距离以m为单位，试分别求它们的（1）振幅；（2）频率；（3）周期；（4）波长；（5）相速度；（6）传播方向。

?t?kz??0) 解：波的表达式为E(z,t)?Acos(E1(z,t)?4cos2?(3t?0.2z)

（1）A?4cm（2）??3Hz（3）T?1??0.33s（4）??2?1??5m（5）k0.23?15m/s（6）?z

k0.21E2(z,t)?cos(3.5t?7z)

2.513.52?（1）A?cm?0.4cm（2）???0.557Hz（3）T??0.1.80s（4）

2.52??2?2??3.5????0.9m（5）vP???0.5m/s（6）?z

k7k7vP??

0

【3.3】频率为6×1014Hz，相速度为3×108m/s的光波，在传播方向上相位差为60的任意两点之间的最短距离是多少？

??解：?z?????vP??vP?8???3?8.33?10m?83.3nm 14k?2??2??6?10?3?108

【3.4】在玻璃中z方向上传播的单色平面波的波函数为

E(P,t)?102exp{?i[??1015(t?z)]} 0.65c式中c为真空中的光速，时间以s为单位，电场强度以V/m为单位，距离以m为单位，试求：（1）光波的振幅和时间频率；（2）玻璃的折射率；（3）z方向的空间频率；（4）在xz平面内与x轴成450角方向上的空间频率。 （1）A?10V/m，??2?cc?5?1014Hz（2）n???1.54（3）2?v0.65c 9

??10151?

??k?0.65c?2.56?106m?1（4）f()?42?2?fzcos?4?1.82?106m?1

【3.5】一平面波的波函数为E(P,t)?Acos[5t?(2x?3y?4z)]，式中x，y，z的单位为m，t的单位为s。试求：（1）时间频率；（2）波长；（3）空间频率矢量的大小和方向，

解：E(P,t)?Acos[5t?(2x?3y?4z)] （1）??2?2?2??5???1.17cm??0.796Hz（2）??222222k2?2?kx?ky?kz2?3?5?1（3）

1??????0.86cm，方向k?(2ex?3ey?4ez)

【3.6】一平面波函数的复振幅为E(P)?Aexp{?i[方向。

解：E(P)?Aexp{?i[~k14x?2k14y?3k14z]}，试求波的

~k14x?2k14y?3k14z]}

?k1?2?3?ex?ey?ez]} 方向?[k141414

【3.7】一台3kW的CO2激光器发出的光束被聚焦成直径为10μm的光斑，求在焦点处的光强I以及光场的振幅值A（假设n=1，不计光束的损失）。 解：光强I?W2kw132??3.82?10J/ms ?S?(10?m)2?4??10?71?2213?2?3.82?10?2.88?1016，A，得A?2I由I??12?2?8.85?10A?1.70?108V/m

【3.8】平面波函数的复振幅为E?Ae，试证：（1）当相位改变2π时，E保持不变；（2）用?i乘波函数E，等效于它的相位改变?解：E?Ae，E(??2?)?Ae

~i?~~?。 2~i?~i(??2?)?Aei?e?i2??Aei?，

10

?ii(??)~?iE?e2Aei??Ae2

??

【3.9】如附图，一平面简谐波沿x方向传播，波长为λ，设x=0的点的相位?0?0。 （1）写出沿x轴波的相位分布?(x)； （2）写出沿y轴波的相位分布?(y)； （3）写出沿r方向波的相位分布?(r)。

解：

??k?kex

??（1）?(x)?k?x?kx ??（2）?(y)?k?y?0 ???（3）?(r)?k?r?kxcos?

【3.10】如附图，一平面简谐波沿r方向传播，波长为λ，设r=0的点的相位为?0， （1）写出沿r方向波的相位分布?(r)； （2）写出沿x轴波的相位分布?(x)； （3）写出沿y轴波的相位分布?(y)。

解：

11

??????????k?k(cos?ex?sin?ey)，r?r(cos?ex?sin?ey)，x?xex，y?yey

（1）?(r)?k?r??0?kr??0

??????（2）?(x)?k?x??0?kxcos???0 ???（3）?(y)?k?y??0?kysin???0

【3.11】如图所示，在一薄透镜的物方焦平面上有三个点光源O、A、B，试分别写出由它们发出的光波经透镜折射后，在像方焦平面上产生的复振幅分布函数（设三列波的波长均为λ）。

解：三点发出的球面波经过透镜后变为平面波。平面波的复振幅表达式为

??2?~i(k?r??0)U(P)?Ae，其中波矢k?(sin?,0,cos?)，?为平面波的方向，即平面波的波

?矢与YOZ

平面间的夹角，sin?1??aa?f22,cos?1???fa?f?22，

sin?2?bb2?f2,cos?2?fb2?f2。而位于屏上的位矢r?x?ex?y?ey?0ez。

???~i(k?r??0)?AAei?o 则有，UO(P)?AOe??~i(k?r??0)UA(P)?AAe?AAei(ksin?1??o) ??~i(k?r??0)UB(P)?ABe?AAei(ksin?2??o)

或者另解：三点的坐标取定为A(a,0)，O(0,0)，B(?b,0)。其中A、B为轴外物点，O为轴上物点。在物方焦平面上位相为零。三点发出的球面波经透镜后变为平面波，波矢与XOZ平面平行，方向角分别为sin?A??aa?f22，sin?O?0，sin?B?bb?f22。

忽略透镜对光的吸收和透镜厚度所引起的附加光程，各列球面波传播到光心处时，振幅为

AA?Aa?f22，AO?AA，AB?fb2?f2

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将像方坐标系取在透镜平面处，像方焦平面的坐标为(x?,y?,f)，则

??k?k(si?n,0,co?s)

~UA(x?,y?)?Aa?f22Aa?f22exp[ika2?f2?ikfcos?A?ikx?sin?A] faa?f22?exp(ika2?f2?ikfa?f22?ikx?)

AA~UO(x?,y?)?exp[ikf?ikfcos?0?ikxsin?O]?exp(2ikf)

ff~UB(x?,y?)?Ab?f22Ab?f22exp[ikb2?f2?ikfcos?B?ikx?sin?B] fbb?f22?exp(ikb2?f2?ikfb?f22?ikx?)

【3.12】如图所示的杨氏实验装置中，若单色光源的波长λ=5000?，d=S1S2=0.33cm，r0=3m，试求：（1）条纹间隔；

（2）若在S2后面置一厚度h=0.01mm的平行平面玻璃片，若在S2后面置一厚度h=0.01mm的平行平面玻璃片，试确定条纹移动方向和计算位移的公式；假设一直条纹的位移为4.73mm，试计算玻璃的折射率。

（1）?x?r0??0.5mm d（2）插入玻璃片后从S2到P点的光程为r2?(n?1)h，由于光程增大，j=0级条纹向下移动，所有条纹亦将同样移动。

由于P点处的光程差为??r2?(n?1)h?r1?xdd?(n?1)h，j级亮纹x?(n?1)h?j?r0r0 13

对0级条纹?xdd3.3?1?4.73?1.52 ?(n?1)h?0，n?1??x3hr00.01?3?10r0

【3.13】用很薄的云母片（n=1.58）覆盖在双缝装置中的一条缝上，这时，光屏上的中心为原来的第七级亮纹所占据，若λ=5500?，则云母片有多厚？ 解：插入前xj?jDj??(n?1)h?，插入后x?j?r0，中心处的光程差?0?(n?1)h?7?，dd7?7?550?10?9h???6.64?10?6m?6.64?m

(n?1)1.58?1

【3.14】在双缝的情况下，证明 （1）屏幕上的光强为IP?4A0cos(（2）第一极小出现在?1?2222?d?dsin?)?I0cos2(sin?)； ???2d。

22解：（1）I?A?2A0(1?cos??)?2A0(1?cosk?)?2A0(1?cos2?4A0cos2(2?d?sin?)

?d?dsin?)?I0cos2(sin?) ??

（2）第一极小值出现在

?d???，近轴条件下，?1?。 sin??，即sin???22d2d

【3.15】设菲涅耳双面镜的夹角ε=10-3rad，有一单色狭缝光源S与两镜相交处C的距离r为0.5m，单色波的波长λ=5000?。在距两镜相交处的距离为L=1.5m的屏幕Σ上出现明暗干涉条纹，如图所示。（1）求屏幕Σ上两相邻明条纹之间的距离；（2）问在屏幕Σ上最多可以看到多少明条纹？

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解：两像光源对反射镜交线的张角为??2(???)?2??2?，则两者间距d?2rsin?，

D?rcos??L

（1）?x?D??1.00mm dxMLtg?如果仅考虑屏幕上部，??3，

?x?x（2）由于两光源的重叠照射区域xM?Ltg?，j?则包括0级，可以看见4条，下半部分也应该有一些，但考虑到反射镜的遮挡，会少一些。

【3.16】如附图（a）和（b）所示，将一焦距f?为50cm的会聚透镜的中央部分截取6mm，把余下的上下两部分再粘合在一起，成为一块透镜L。在透镜L的对称轴上，左边300cm处有一波长λ=5000?的单色点光源S，右边450cm处置一光屏DD。试分析并计算：

（1）S发出的光经过透镜L后的成像情况，如所成之像不止一个，计算各像之间的距离； （2）在光屏DD上能否观察到干涉条纹？如能观察到干涉条纹，相邻明条纹的间距是多少？ 解：如此处理后的透镜等效于具有两个光轴的透镜，光轴偏移现在的中心轴y=3mm。 （1）s??sf300?50s?60??60cm，像高y???y??3??0.6mm s?f300?50s300像光源间距d?2y?2y??7.12mm

（2）

由图可见，两像光源发出的光在屏幕上并不相交，故没有干涉。

15

【3.17】设有两个点光源S1、S2，相距为t，接收屏垂直于S1S2连线放置，垂足为接收屏上的原点，接收屏至S1、S2中点的距离为D，且D>>t、x。问在接收屏上生成的干涉图像是什么形状？并证明第k级亮纹至屏原点的距离为

??D2(1?j?) t解：对于接收屏上任一点（x，y），

??r1?r2?x2?y2?(D?)2?x2?y2?(D?)2tt??2?(D?)2??2?(D?)2?j?

22t2t2

??x2?y2，为接收屏上任一点到中心线的距离，可见条纹为同心圆环。

t2t r1???(D?)?(D?)1?222?2t(D?)22t1?(D?)[1?22?2t(D?)22]

tt1r2???(D?)2?(D?)[1?2222?2t(D?)22]

t??r1?r2??(D?)[1?2t?2]?(D?)[1?] t2t22(D?)2(D?)2222?2?t?D?2t2(D?)22?D?t2(D?)22tt(D?)2?(D?)2D?22?t?tt2(D?)2(D?)2222D?2?Dt?t?2D4?t(1??22D)?j?，?2?2D2(1?2j?j?)，??D2(1?)

tt 16

【3.18】波长为λ的平行单色光以小倾角θ斜入射到间距为t的双缝上，设接收屏到双缝距离为D。（1）求零级主极大的位置；（2）假设在屏上到双缝距离都相等的地方恰好出现暗条纹，倾角θ必须满足什么条件？

解：

光程差中应包括双缝前的部分，??

xt?tsin? D（1） j=0级，x0?Dsin?，在入射方向上。 （2） 暗条纹??xt11?tsin??(j?)?，x?0，tsin???(j?)?，由于j可以取任D221?义整数，同时又是以小角度入射，??sin??(j?)

2t

【3.19】考虑如图所示的三缝干涉，假设三狭缝的宽度相同（??）。（1）第一主极大的θ2角是多少？（即从三狭缝出来的子波同相位）；（2）把（1）的结果写为θ1，在零级主极大（θ=0）方向的能流可写为F0。在

?1方向上的能流是多少？（以F0为单位，设???d）。 2xx?d，位相差DD解：幕上x处，是三列波的叠加，相邻两列间光程差为??dsin???k??2??dx2?x2?3x，???d，????d叠加后，光强为 D?D?2D

??55I?A2?|A0(1?cos???cos??)ex?A0(sin???sin??)ey|2

22 17

555???2cos???2cos???2cos??cos??22255?sin2???sin2???2sin??sin??)22?A0(1?cos2???cos22352?A0(3?2cos???2cos???2cos??)

22（1） 三列波同相，即光程差同时是波长的整倍数。最小的取值为m1?2,m2?3，方向??dx3dx2?m1?,?m2?，m1?m2，D2D3x??2 Dd352（2） I?A0(3?2cos???2cos???2cos??)

22???2??dsin?，?1?2?d，

?12??d，此时

??12?F0，??，??0，I(0)?9A022I(?12)?A0(3?2cos2??2cos3??2cos5?)?A0?2F0 9

【3.20】波长λ为0.5μm的平行单色光垂直入射到双缝平面上，已知双缝间距d为0.5mm，在双缝另一侧5cm远处，正放置一枚像方焦距f?为10cm的理想透镜L，在L右侧12cm远处放置一屏幕。问屏幕上有无干涉条纹？若有，则条纹间距是多少？

解：

两光源成虚像，可以算得s??

sf5?10???10cm， s?f5?10s??10则两像光源d??1.0mm，D??10?12?22cm，y??0.25?0.5mm，

s5D??有干涉条纹，?x???0.11mm

?d像高y???

3.21波长λ为0.5μm的平行单色光垂直入射到双孔平面上，已知双孔间距t为0.5mm，在双孔屏另一侧5cm远处，正放置一枚像方焦距f?为5cm的理想薄透镜L，并在L的像方焦

18

平面处放置接收屏。求：（1）干涉条纹的间距等于多少？（2）将透镜往左移近双孔2cm，接收屏上干涉条纹的间距又等于多少？ 解：s??sf5?5d/20.5/2???，变为平面光。与光轴夹角，sin????0.005 s?f5?5s50????在接收屏上，???k1?r?k2?r?k(?xsin??zcos?)?k(?xsin??zcos?)取z=0

???2kxsin??j2?，x?左移2cm，s??2?jj??，间距?x???50?m

2ksin?2sin?2sin?sf3?5s??7.5?虚像，像高???7.5cmy??y??0.25?0.625mm，

s?f3?5s3则两像光源d??1.25mm，D??50?20?75?145mm，?x??

D???58?m d?3.22在杨氏双缝实验中，除了原有的光源缝S外，再在S的正上方开一狭缝S?，如图。（1）若使S?S2?S?S1??2，试求单独打开S或S?以及同时打开它们时屏上的光强分布。（2）若

S?S2?S?S1??2，S和S?同时打开时，屏上的光强分布如何？

2kd?dx?)?4I0cos2(x?) 2D?D2?ddd单独打开旁边缝，则计入双缝前的光程差?1?x?x?，总位相差k??(x?x?)，

l?lDxx?dI??4I0cos2[?(?)]

lD?两缝同时打开I?I?

解：单独打开中央缝，I?4I0cos( 19

（1）S?S2?S?S1??/2，?1?x（2）S?S2?S?S1??，?1?xd??/2 ld?? l

3.23在杨氏双缝实验中，双缝间距为0.5mm，接收屏距双缝1m，点光源距双缝30cm，它发射波长λ=5000?的单色。试求：（1）屏上干涉条纹间距：（2）若点光源由轴上向下平移2mm，屏上干涉条纹向什么方向移动？移动多少距离？（3）如点光源发出的光波为（500.0±2.5nm）范围内的准单色光，求屏上能看到的干涉极大的最高级次；（4）若光源具有一定的宽度，屏上干涉条纹消失时，它的临界宽度是多少？

D??1.00mm d2?dd（2），0k??(x?x?)?2j??lDddDD100x??(j??x)??x?2??6.7mm，上移 Dldl30解：（1）?x?级条纹位置

?2/?????100 （3）j??????L（4）b?

3.24附图所示为一种利用干涉现象测定气体折射率的原理性装置，在S1后面放置一长度为l的透明容器，当待测气体注入容器而将空气排出的过程中幕上的干涉条纹聚会移动，由移过

条纹的根数即可推知气体的折射率。试求：（1）设待测气体的折射率大于空气的折射率，干涉条纹如何移动？（2）设l=2.0cm，条纹移过20根，光波长589.3nm，空气折射率为1.000276，求待测气体（氯气）的折射率。

?ld?0.3mm

20

解：（1）充气过程中，上光源的光程逐渐增大，条文上移。 （2）光程差改变(n?na)l??j?，

n??j?/l?na?20?589.3?10?6/20?1.000276?1.0008653

3.25瑞利干涉仪的结构和使用原理如下（参见附图）：以钠光灯作为光源置于透镜L1的前焦面，在透镜L2的后焦面上观测干涉条纹的变动，在两个透镜之间安置一对完全相同的玻璃管T1和T2。实验开始时，T2管充以空气，T1管抽成真空，此时开始观察干涉条纹。然后逐渐使空气进入T1管，直到它与T2管的气压相同位置。记下这一过程中条纹移过的数目。射光波长为589.3nm，管长20cm，条纹移过98根，求空气的折射率。

解：(n?1)l??j?，n??j?/l?1?98?589.3?10?6/200?1?1.000289

3.26沿着与肥皂膜的法线成350角的方向观察膜呈绿色（λ=5000?），设肥皂水的折射率为1.33，求：（1）薄膜的厚度；（2）如果垂直注视时，膜呈何种颜色？ 解：反射光干涉相长，2nhcosi2?(2j?1)?/2， （1）h?2j?1(2j?1)????(2j?1)1.0417?10?7m，

4ncosi24nn2?sin2i1（2）i1?i2?0，2nh?(2j?1)?/2，??

4nh4?1.33?(2j?1)??554.2nm 2j?12j?121

3.27一束白光垂直照射厚度为0.4μm的玻璃片，玻璃的折射率为1.5，在可见光谱范围内（λ=4000?到λ=7000?），反射光的那些波长成分将被加强？

?4nh4?1.5?0.4解：2nh?(2j?1)?/2，????0.48?m?4800A

2j?12j?1

3.28白光以450角射在肥皂（n=1.33）膜上，试求使反射光呈黄色（λ=6100?）的最小膜厚度。

?(2j?1)?j?0??1.354?10?7m?13.54?m 解：h?4ncosi24nn2?sin2i13.29如图所示为一观察干涉条纹的实验装置。R2为透镜L2R1为透镜L1下表面的曲率半径，上表面的曲率半径，今用一束波长λ=5893?的单色平行钠光垂直照射，由反射光测得第20级暗条纹半径r为2.4cm，又已知R2?2.5cm，试求：（1）干涉图样的形状和特性；（2）透镜下表面的曲率半径R1是多少？

解：（1）由两球面的反射光相干叠加因为以光轴为对称轴，所以为同心圆环干涉条纹。 半径为r的圆环到球面顶点切面的高度为h1?r2/2R1，h2?r2/2R2

?h?h1?h1?r2(1/2R1?1/2R2)，有半波损失，亮条纹满足2?h?(2j?1)?/2

2即?h?r(1/2R1?1/2R2)?(2j?1)?/4，r?2(2j?1)λλ1R2(2j?1)λ?，

2(1/R1?1/R2)2(R2?R1)rj?(2j?1)?R1R2j?R1R2?r?，暗条纹j

2(R2?R1)R2?R1j?1?120?589.3?10?71?1?1)?[?]?0.005189?192.73cm （2）R1?(2?2R2200rj2.5

3.30如图所示的实验装置，在一洁净的玻璃片的上表面上放一滴油，当油滴展开成油膜时，

22

在波长λ=6000?的单色光垂直照射下，从反射光中观察到油膜所形成的干涉条纹。实验中，是由读数显微镜向下观察油膜所形成的干涉条纹。如果油膜的折射率n=1.20，玻璃的折射率n??1.50，试求：（1）当油膜中心的最高点与玻璃片的上表面相距h=12000?时，描述所观察到的条纹的形状，即可以观察到几条亮条纹，亮条纹所在处油膜的厚度是多少？中心点的明暗程度又如何？（2）当油膜逐渐扩展时，所看到的条纹将如何变化？

解：油膜上表面和油膜与玻璃的分界面的反射光相干叠加。无半波损失。 （1）光程差为2nh1，n：油膜的折射率，h1：油膜厚度。亮条纹，2nh1?j?，j?2nh1?。

h1?h时，j?2nh112?1.20可见5条亮纹，j=0，1，2，3，4。而暗条纹j??? 1200?4.8，

?2600固定点介于明暗之间。

（2）油膜扩展，j减小，看见亮条纹向中心收缩并消失，同时可见油膜新扩展的区域有心条纹出现。

3.31如图所示是Newton环的干涉装置，平凸透镜球面的曲率半径R?1.00m，折射率

n1?1.50，平板玻璃由左右两部分组成，折射率分别是n3?1.50和n4?1.75，平凸透镜

的顶点在这两部分玻璃的分界处，中间充以折射率n2?1.62的二硫化碳液体，若用单色光垂直照射，在反射光中测得右边j级明条纹的半径rj?4mm，j＋5级明条纹的半径

rj?5?6mm，试求：（1）入射光的波长；（2）观察到的干涉图样。

解：左边有半波损失，右边没有。 （1）2n2h?n2rj2R?j?，

n22(rj??j?rj2)??j?，可得 R 23

??n21.6222?6(rj2??j?rj2)?(6?4)?648?10mm?648nm 3?jR5?10?10n2rj2n2rj21?(j?)?，暗条纹2n2h??j?，即同一高度处，（2）左边亮条纹2n2h?R2R两侧条纹正好明暗错开。

3.32如图所示，A为平凸透镜，B为平板玻璃，C为金属柱，D为框架，A、B之间留有气隙，而A被固结在框架的边缘上。温度变化时，C发生伸缩，而假设A、B、D都没有伸缩。现用波长为λ=6328?的激光垂直照射，试求：（1）在反射光中观察时，看到Newton环的条文都已向中央，这表明金属柱C的长度是增加还是缩短？（2）如果观察到有10个明条纹移到中央而消失，C的长度变化了多少毫米？

解：（1）条纹向中间移，即第j级的半径减小，说明气隙增加，即金属柱C缩短。 （2）2n?h??j?，?h??j?10?632.8??3164nm?3.164?m 2n2

3.33一个Michelson干涉仪被调节，当用波长λ=5000?扩展光源照明时会出现同心圆环形条纹，若要移动其中一臂而使圆环中心处相继出现1000条条纹，则该臂要移动多少？若中心是亮的，计算第一个暗环的角半径。（要求用两臂的路径距离差和波长表示） 解：是等倾干涉。2?h??j?，?h??j?1000?500.0??250?103nm?250?m 22i2?12i??中心亮环，第一暗环，所以有1?cosi?2sin 2h?j?，2hcosi?(j?)?，

224h2i??2h

3.34在傍轴条件下，等倾条纹的半径与干涉级有什么样的依赖关系？Newton环的情况又怎样？能够将二者区别吗？如何区别？

解：等倾干涉2hn2cosi2?(j?)?，其圆环半径

12 24

rj?f?i1?f?n2(1?cosi2)n2i2?f?2?f?n1n1n22[1?(j?1/2)?]2n2hn1?n(j?1/2)?f22n2?2 n1h(j?1/2)R?

牛顿环rj?区别：前者是等倾干涉，后者是等厚干涉。对于中心条纹而言，前者明暗随即出现，而后者始终是明或暗纹。

当膜厚改变时，圆环的变化方式正好相反。

3.35用钠光（λ=5893?）观察Michelson干涉条纹，起初看到干涉场中有16个亮环，且中心是亮的；移动一个平面镜M1后，看到中心吞吐了20环，此时干涉场中还剩6个亮环。试求：（1）M1移动的距离；（2）开始时中心亮斑的干涉级；（3）M1移动后，最外面亮环的干涉级。 解：2hcosi?j?

（1） 中心条纹2?h??j?，?h??j?2?20?589.3?5893nm 2（2） 中心条纹：开始时2h?j0?，结束时，2(h??h)?(j0??j)?。所以有

j0h?。最外圈的条纹，开始时，2hcosi?j?，设中心级数为j0，

h??hj0??jj?j0?(m?1)，m为视场中可见的环数。结束时2(h??h)cosi?j??，中心级

数为j0??j，j??j0??j?(m??1)。可以得到：

j0?m?1h?。综

h??hj0??j?m??1合两式

j0j0?m?1?。?j??20，m?16，m??6j0?30

j0??jj0??j?m??1

3.36将光滑的平板玻璃覆盖在柱形平凹透镜上，如图，试求：（1）用单色光垂直照射时，画出反射光中干涉条纹分布的大致情况；（2）若圆柱面的半径为R，且中央为暗纹，问从中央数第2条暗纹与中央暗纹的距离是多少？（3）连续改变入射光的波长，在λ=5000?和λ=6000?时，中央均为暗纹，求柱面镜的最大深度；（4）若轻压上玻璃片，条纹如何变化？

25

解：（1）是平行于柱面轴线的直条纹。

（2）有半波损失，距离轴线d处的膜厚位H，d?R?(R?h)?2Rh?h?2Rh，

2222d21d2，2H?(j?)??2(H0?H?H0?h?H0?)，dj?[2H0?(2j?1)?]R，2R22R暗条纹d?j?纹间距d??2(H0?j?)R。中心暗纹j?H0/?，从中心数第一条暗纹j?1，与中央暗

2?R

（3）2H0?j?1?(j?1)?2，即6000j?5000(j?m),j?5m，要求其它波长的光不出现暗纹，2H0?k?4000，m最大取1。H0?3000?5?15000A?1.5?m

（4）条纹间距变大，且中心有条纹被吞入。

3.37如果Fabry-Poret干涉仪两反射面间距为1.00cm，用绿光做实验，干涉条纹中心正好是一亮斑，求第10个亮环的角直径。

解：透射光2hcosij?j?，2nh?j0?，2nhcosij?(j0?9)?，

?9?9?500?10?9i2??0.021 1?cosij?9?/2h，而1?cosi?，i??3h10.0?102角直径0.042

3.38设Fabry-Poret腔（F-P腔）长5cm，用扩展光源做实验，光波波长λ=6000?，问：（1）

0

中心干涉级数是多少？（2）在倾角为1附近，干涉环的半角宽度是多少？（设反射率R=0.98）。（3）如果用该F-P腔分辨谱线，其色分辨本领有多大？可分辨的最小波长间隔是多少？（4）如果用其对白光进行选频，透射最强的谱线有几条？每条的谱线宽度是多少？

-5

（5）由于热胀冷缩所引起的腔长的改变量为10（相对值），则谱线的漂移量是多少？ 解：2h?j0?，j0?2h/??2?5?10/0.6?166666 （2）?ij?6?2?nhsini1????(1?0.98)?0.6?6?2.21?10 4?2??5?10sin10.98 26

（3）A??????0.98j???166666??2.59?107 1??1?0.98????A?600?5?2.32?10nm 72.59?102nh12nh，j??131578~250000，共118422条 j?（4）????j??1??，或???c1???c1???1.93?107Hz

j?j?j?2n?h?j??）

（5

2h?j0?，

2?h?j0???2h???，

???h??h，

?????hh?600?10?7nm?6?10?5nm

3-39若用钠光灯的双谱线λ=5890?和λ=5896?照明Michelson干涉仪，首先调整干涉仪，得到清晰的干涉条纹，然后移动M1，干涉图样为什么会逐渐变得模糊？问第一次视场中干涉条纹消失时，M1移动了多少距离？ 解：这是非单色光的时间相干性问题。

?1?2?2?2??0.289mm ?2h，h?非单色波的相干长度、即波列有效长度L?2??2(?1??2)??3-40玻璃板上有一层油膜，波长可连续改变的单色光正入射，在λ=6000?和λ=6000?时，

观察到反射光干涉相消，并且在这两波长之间再无其它波长的光相消。（1）证明油膜的折射率一定小于1.5（玻璃的折射率1.5）。（2）若油的折射率为1.3，求油膜的厚度。 解：（1）如果油膜的折射率大于玻璃，则反射光的相干叠加中要计入半波损失。即干涉相消的条件是2nh?j?，500j1?700j2?2nh，由于波长的变化是连续的，则式中两整数只能相差1，所以j1?3.5,j2?2.5，显然不对。

如果油膜的折射率小于玻璃，则反射光的相干叠加中没有半波损失。即干涉相消的条件是

1112nh?(j?)?，500(j1?)?700(j2?)，j1?3,j2?2

2221j?2??2.5?700nm?673nm （2）h?2n2?1.3

3-41如图，在一厚玻璃中有一气泡，形状类似球面透镜，用单色光从玻璃的左侧垂直入射（1）在右侧看到的干涉条纹的特点，即形状、间距、级数和边界处的条文特点；（2）若均匀用力挤压玻璃的左右两侧，条纹有何变化？

27

解：（1）由球面镜的对称性，可知干涉条纹是同心圆环。透射光中美有半波损失。可以证明透镜上距离光轴

?处的厚度为h?d?(?22R1??22R2)，亮纹2h?j?，

?2?(2d?j?)/((2d?j?)R1R211?)?，为说明主要特征，可以令两球面半径相等。R1R2R1?R2?2?(2d?j?)R与牛顿环相似。

（2）挤压，使膜变薄，则圆环被吞入中心。

3-42图（a）为检查块规的装置，G0为标准块规，G为上表面待测的块规，以波长为λ的平行单色光垂直入射，测得块规与平晶之间的空气尖劈所形成的干涉条纹如图（b），对应于

G0和G的条纹间距分别为l0和l，且l0?l，若将G转过1800，条纹均比原来密。（1）作

出判断，并在图c中画出G规的上端面形貌示意图；（2）求G规左右侧与标准规的高度差。

解：（1）G转过180度前，由条纹形状可以判断出G比标准块规高，G的上端面为一倾斜平面。

G转过180度后，条文变密，说明尖劈楔角增大，即此时远端要高一些。如图所示。 （2）对G0，l0??h????，对G，l?

2?2?G转过1800度前：

28

??h1??Dtg(???)?D(???)?D(?h??h2?2l0??2l)?h1?h1??h??Dtg??D??DG转过1800度后：?????

?2l0??h??h1?h??D(，?h2?h2?l0??2l)

?h??Dtg??D(???)?D(?2l0(??2l)，?h2?2D??D?l0，

???h??D?h1??h2?l0?D?11?11?)?D(?) 2l0l2l0l

3.43波长为632.8nm的激光垂直入射在有一半径为1.25mm的衍射屏上，为了观察Fraunhofer衍射，观察屏大约要放多远？

x2?y2解：要满足远场条件k???

2zx2?y2?2?21.2523即，z??k?k???2.47?10mm?2.47m

2?2??632.8?10?6

3.44在Fresnel圆孔衍射实验中，保持其它条件不变，而使圆孔的半径连续增大，大致画出观察点P处光强随圆孔半径变化的曲线。

?2(R?b)12解：由Fresnel半波带公式j?，及强度公式IP?{[A1(P)?Aj(P)]}，可以

?bR2画出大致的强度分布曲线，是震荡衰减的。

3.45波长为λ=5633?的单色光从远处的光源发出，经过一个直径D=2.6mm的圆孔，在距孔1m处放一屏幕，问：（1）幕上正对孔中心的点P是亮的还是暗的？（2）要使P点的明暗变成与（1）相反的情况，至少要将屏幕移动多少距离？ 解：Fresnel圆孔衍射。

?2(R?b)?211?21.32?(?)???3，P为亮点。 （1） 由j??bR?Rb?b563.3?10?6?1?103?1500mm,j?2?21.32???（2） 使j=2，或j=4。由上式计算b?，前移0.25mj?563.3?10?6j?750mm,j?4或后移0.5m。

3.46当缝宽分别是（1）1λ（2）5λ（3）10λ时，单缝Fraunhofer衍射的半强角宽度是多

29

大？（半强角宽度是光强等于中央衍射主极大光强一半处的衍射角宽度） 解：Fraunhofer单缝衍射公式，I(?)?I0(sinu21sinu1sinu2I(?)，?()?，?)，

I0u2uu2?asin?1??即，该超越方程的解是，asin??1.391557。 ???2asin??1.391557?（1）a??，sin???0.4429

?a1.391557?（2）a?5?，sin???0.0886

?5a1.391557?（1）a?10?，sin???0.0443

?asin

3.47若将一个Fresnel波带片的前5个偶数半波带挡住，其余全开放，衍射场中心的强度与自由传播时相比扩大了多少倍？ 解：A?1111A1?(A2?A4?A6?A8?A10)?A1?5A2?A1 2222强度I?A?121(A12)?121I0 2

3.48若将一个Fresnel波带片的前50个奇数半波带挡住，其余全开放，衍射场中心的强度与自由传播时相比扩大了多少倍？ 解：A?1199A1?(A1?A3???A99)?A1?50A1??A1 2222强度I?A?9801(A12)?9801I0 2

3.49一硬币半径为1.2cm，据波长500nm的点光源10cm，求在两者的中心连线上，硬币后10cm处的光强表示式(ak?12)中k的数值。 2?211(1.2?10?2)21111(?)?(?)?48解：j?，A?A?A49， 48?1?Rb22600.0?10?91010由衍射的反比关系??0??a

3.50对于波长为500nm的光，波带片的第8个半波带的直径为5mm，求此波带片的焦距以及距焦点最近的两个次焦点到波带片的距离。

30

?22.52解：波带片公式f?，f??1562.5mm?1.56m

j?8?500?10?6相邻的次焦点f???0.521m,m?1f??

2m?1?0.312m,m?2

3.51如图所示，用波长为632.8 nm的平行光垂直照射宽度为0.2mm的单狭缝，缝后有一焦距为60cm的透镜，光屏在此透镜的焦平面上，求衍射图样中心到第二条暗纹的距离。

解：暗条纹sinu?0，u?第二条暗纹到中心处距离

?asin?j??j?,j?0，sin??,j?0 ?af?60?6328?10?8x?f?tg??fsin??j?2??3.80?10?3cm?0.038mm

a0.02

3.52波长为500.0nm的单色光垂直入射到直径为4mm的圆孔上，确定轴线上光强极大和极小值点的位置。

?2解：Fresnel圆孔衍射。由b?，j取奇数为极大值点，偶数为极小值点。

j??8(0.2?10)8?2m?1(m)亮点 b????j?4(m)j500.0?10?9暗点?m?22

3.53波长为500.0nm的单色光垂直入射到直径为4mm的圆孔上，接收屏在圆孔后1.5m处，问孔的轴线与屏的焦点处是两点还是暗点？如果要使该点的光强发生相反的变化，孔的直径要改变多少？

?21.32??2，为暗点。 解：j??6b?1500?589.0?10??

31

jb??(2m?1)b??1.882m?1mm，为亮点。

3.54，同3.45

3.55波长为632.8nm的平行光垂直入射到圆孔衍射屏上，屏后轴上距离1m处出现一个亮点，设此时圆孔恰好仅露出第一个半波带，试求：(1)圆孔的半径；（2）由该点向衍射屏移动多远可以出现第一个暗点？ 解：??jb??1?1000?632.8?0.795mm

?2b1b???0.5m

j?23.56平行光照射图示的衍射屏，图中标出的是观察点到屏上的光程，在近轴条件下用矢量方法求出观察点的光强（用自由传播时该点的光强表示）。

3A129A12A13A21A33A192)??I0 （a）A?，I?A?(?????81641644428

2A121A12122)??I0 A1， I?A?(（b）A?42424 32

（c）A?0，I?0

2A121A12122)??I0 A1，I?A?(（d）A?424243.57针孔相机没有透镜，而是用一个前后相距10cm的带针孔的暗盒构成。用它拍摄太阳时

要得到最清晰明亮的像，针孔的直径应该多大？

解：在暗盒底看来，针孔处恰好露出第一个半波带。

??

jb??1?100?500.0?0.224mm

3.58 500.0nm的光正入射到图示衍射屏上，r1?2m。计算该点的振幅和强度。

2mm，r2?1mm，轴上观察点距衍射屏

33

解：在观察点，，j??2?1j???2由，??1b?2000?500.0?10?6b?2000?500.0?10?6139A2?A1，光强I?A2?I0 4442222于第二半波带只露出1/4。所以有A?A1?

3.59波带片第5环的半径为1.5mm，对于500.0nm的光，其焦距和第一环的半径是多少？若在波带片和屏幕间充以折射率为n的介质，将发生什么变化？

?j21.52??900mm?0.9m 解：f?j?5?500?10?6?j?jf??j?5?0.67mm 5充入介质后，其中等效波长改变。但是波带片却没有改变，故有f1λ1?f2λ2，

f2?f1λ1/λ2?nf1

3.60平行光正入射到单圆孔衍射屏上，在轴上距离孔L处记录光强变化，发现光强随孔径的增加呈震荡型变化（1）求第一极大时圆孔的半径ra；（2）求第一极小时圆孔的半径rb；（3）上述两半径趋于无限大时，两者光强的比值；（4）如果用半径为ra的不透光圆屏代替衍射屏，此时的强度如何？ 解：Fresnel圆孔衍射。

ra?jL??L?

j?1r1极小?jL??2L?

2j?2第一极大值Ia?A1，自由传播时，r??， I0?圆屏衍射I?

12A1 41212A2?A1?I0，强度相当于自由传播时。 223.61（1）平行单色光以?角入射到有一单缝的衍射屏上，屏后有一透镜，设透镜无限大。

求后焦面上的光强分布；

（2）如果将上述狭缝换为长板条，强度又如何？ 解：（1）I(?)?I0(sinu2?a)，而u?(sin??sin?0) u?sinu2)，几何像点处，u~~~~~~U?(?0)?Uf?U(?0)?KU(?0)?U(?0)?(K?1)U(?0)，

（2）由Babinet原理，几何像点之外，即???0，I?(?)?I(?)?I0(由

于

34

I?(?0)?I(?)?(K?1)2I0

3.62波长480nm的平行单色光垂直入射到缝宽0.4mm的单缝衍射屏上，缝后透镜焦距为60cm，计算当屏上一点到缝两端的位相差分别为少？ 解：

狭缝两端到P点处的位相差?????和时，该点到焦点的距离分别是多262??asin?，

?3?10?4,????/2?0.481.2?10?3sin????????????， ?42?a400?2?2??1?10,????/6?0.018cm????/2x?f?tg??fsin???

?0.006cm????/6

3.63平行白光正入射到0.320mm宽的狭缝上，缝后1m远处有一小的分光镜的入射缝正对该狭缝，对图样进行分光研究。如果狭缝沿着垂直方向移动1.250cm，分光镜中所见如何？ 解：

分光缝移动。x?f?tg??fsin?，sin??x?1.250?10?2，而由衍射极小分布公式f?2sin??j?a，j?a?sin??0.320??1.250?10?4?10?6??9??400nm?? 5??700nm?可见9条紫色条纹（即紫光出现9次），红光出现5次，其它颜色的光出现的次数介于两者

之间。

3.64阿波罗11号登月后，在月球上讲100块阿波罗小棱镜排成方阵，用来精确测量月地之间距离的变化。不采用整块大棱镜的原因有二：一是月球温差大，大棱镜易变形；二是月地间有相对运动，返回光束将偏离元发射地。为此将每一个小棱镜置于一个保护圆筒中，利用衍射使返回的光束在地面上有一展布直径罩住发射地。若该直径需要10.67英里，红宝石激

5

光器发出的光波长为694.3nm，月地间距离为2.4×10英里，请设计保护圆筒的直径。 解：从月球上每棱镜反射回来的光，在地面上有一个衍射Aivry斑。设保护圆筒直径为D，

2.44?2.4?105???694.3?10?6?38.1mm 则???0S?1.22S，D?1.22?1.672D??2S

3.65三狭缝衍射屏，缝宽均为a，彼此间距为d，中间缝盖有可以引起1800位相改变的滤光片，波长为λ的单色光正入射，计算下列各种情况下的角度。（1）第一衍射极小；（2）第一干涉极小；（3）第一干涉极大。 解：

35

（1） 衍射只与单缝有关，则sin??j（2） 干涉由缝间光得叠加决定

?aj?1??a

~U(?)?eikL1?ei(kL1?kdsin???)?ei(kL1?2kdsin?)

?ei(kL1?kdsin?)[eikdsin??1?eikdsin?]?eikL1[2cos??1]ei?

光强I(?)?[2co?s?1]2，极小值cos??1/2，

2??dsin??j???3，

1??，1级极小sin?? sin??(j?)32d6d2?1?（3） 干涉极大，cos???1， dsin??(2j?1)?，sin??(j?)?22d1级极大值sin???4d

3.66（1）用275.0nm的紫外光比用550.0nm的可见光，显微镜的分辨本领可以增大多少倍？ （2）显微镜的物镜在空气中的数值孔径为0.9，若用紫外光，可以分辨的两条线的最小间距是多少？（3）用油浸系统时，可分辨的最小间距又是多少？油的折射率为1.6；（4）照相底片上感光微粒的大小约为0.5mm，问当油浸系统的紫外光显微镜的横向放大率是多少时，底片上恰能分辨？

解：（1）分辨本领??m?1.22（2）?ym??D，短波比长波5500/2750=2倍。

0.61?0.61?275.0??186nm

nasinu0.90.61?0.61?275.0??116nm

nosinu1.6?0.9??（3）?ym?y??0.5?106??4.3?103 （4）????ym116

3.67一反射式天文望远镜的通光孔径为2.5m，求可以分辨的双星的最小夹角。与人眼相比，分辨本领提高了多少倍？人眼瞳孔的直径约为2mm。 解：??m?1.22?D?1.22550?7 ?2.648?1092.5?10?1.22550?4?3.355?10 62?10??1.22对于人眼??m?Deye比较

???mD2500???1250 ??mDeye236

3.68一束激光（波长为630nm）掠入射于一钢尺上（最小刻度为1/16英寸），反射的光投射到10m以外的竖立墙壁上。（1）推导墙上干涉极大处的角度?。为简单起见，设入射激光束平行于钢尺表面。（2）墙上零级和1级干涉图样的垂直分布又如何？ 解：等效于光栅的衍射d(cos??cos?0)?j?，掠入射d(cos??1)?j?，近轴条件下

cos??1??22，所以??2j? d2?2?6.3?10?7?10?0.282m?28.2cm （2）j=0，??0；j=1，l??l?2d2.54?10/16

-6

3.69双星之间的角距离为1×10rad，辐射波长为577.0nm和579.0nm，（1）要分辨此双星，望远镜的孔径至少多大？（2）要分辨此两波长，光栅的刻线数应为多少条？解释原因。

?579?10?9?1.22??0.706m 解：（1）D?1.22?6??m1?10（2）光栅的色分辨本领A??5780289? ???jN，N?j??20jj??

3.70三缝衍射屏，缝宽为a，缝间不透光部分宽度为b，薄透镜焦距为2m。（1）把中间缝关闭，平行单色光垂直照射。在透镜焦平面上得到b图所示衍射条纹，在c图上画出三缝均打开时的衍射条纹分布；（2）若打开三缝，用400nm、600nm的双色平行光入射，在屏上x=10cm处，同时观察到400nm的k级主极大和700nm的k+1级主极大，则三缝的a、b各是多大？

F19 F1966II330024600246πdsinθ/λπdsinθ/λ

解：（1） （

2

）

x?fsin??fk?1(k?1)?2?fdd，可得到k=2，进而

k?12?600?2?109d3d?f??24?10nm?24?m。由于缺级，可以判断?4。所以6xa100?10a?6?m，b?18?m。

3.71有一四缝衍射屏，缝宽为a，缝间不透光部分宽度为b，且a=b，其中缝1一直打开，

37

其它风可以关闭，单色平行光正入射，如图，试求：（1）打开缝 可得到图a的强度分布；（2）画出4个缝全打开时的强度分布；（3）若缝1、3打开，d不变，而a减小至a<

F13I00246πdsinθ/λ

解：（1）同时打开缝1、3。 （2）

F115129I630024πdsinθ/λ

（3）

F13I0024681012141618202224262830πdsinθ/λ

（4）最大光强I?4I0?16I0

-4

3.72 已知光栅缝宽为1.5×10cm，波长为600nm的单色光垂直入射，发现第4级缺级，透镜焦距为1m，试求：（1）屏幕上第2级亮条纹与第3级亮条纹的距离；(2)幕上所呈现的全部亮条纹数。 解：（1）j=4缺级

2d?4，d?4a?6.0?10?4cm af1?102?600?10?8?x?f(sin?3?sin?2)?(3?2)???1.00cm ?4d6?10（2）jMAX?d/??10，除去缺级，共有1+2*9-4=15条。

38

3.73为了能分辨第二级钠光谱的双线，长度为10cm的平面光栅的常数是多少？ 解：

A???jN??，

N??(5896?5890)/2??492j??2(5896?5890)，光栅宽度

d?L/N?100/492?0.20mm

3.74平行光正入射到宽度为6cm的平面透射光栅上，在300的衍射角方向上的恰可分辨的两谱线的频率差??是多少？ 解：

????()?cc????2c1ccc3?10810??????1?10Hz ?2??AjN?Ndsin?Lsin?6?10sin30

3.75一光栅，光栅常数为4μm总宽度为10cm，波长为500.0nm和500.01nm的平面波正入射，光栅工作在二级光谱，问这双线分开多大角度？能否分辨？ 解：焦距离???j??dcos??2??，考虑到

dcos?cos??1?sin2??1?(j?/d)2?1?4(?/d)2

???j??dcos??2??d2?4?2?2?0.01nm42?4?0.52?m?5.16?10?6

光栅的刻线数

N?W/d?10cm/4?m?2.5?104，由

Rayleigh判据

?5000?????0.1A，恰可分辨。 4jN2?2.5?10?

3.76一光栅宽5cm，每毫米有400条刻线。波长为500nm的平行光正入射时，光栅的第4级衍射光谱在单缝衍射的第一极小值位置。试求：（1）每缝的宽度；（2）第二级衍射谱的半角宽度；（3）第二级可分辨的最小波长差；（4）如果入射光的入射方向与光栅平面的法线成300角，光栅能分辨的最小波长差又是多少？

解：（1）j=4缺级a?d/4?(1/400)/4?6.25?10mm （2）??j??4?Ndcos?j??Lcos?j??L1?(j?/d)2j?2??1.09?10?5

?500???0.0125nm?0.125A （3）???jN2?400?50j?2??2?（4）光栅方程d(sin??sin30)?j?，j?，所以???，最?Nd(sin??sin30)??N? 39

小的波长间隔??m??23Nd22?2??3.3?10?12m?0.003nm。 3L3.77解释附图所示的实验中彩色环的成因。 解：每一个粉笔灰的颗粒可以作为一个衍射单元。大量随即分布的灰尘颗粒就造成了衍射光的相干叠加。类似于光栅，大量的粉尘颗粒统计的结果，表现出球形，所以条纹为圆环形。

3.78将一块随手撒上大量粉笔灰的玻璃放在感光底片上，先曝光一次，微微移动后再曝光一次，经过两次曝光后的底片冲洗后作为衍射屏，用单色平行光照明时，接收屏上得到什么图样？解释其形成的原因。 解：与3.77类似。

3.79一块透明片的振幅透过率为t(x)?e??x2（高斯分布函数），将其置于透镜的前焦面上，

并用单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上的振幅分布。

xx?~ikr0??~~ikr0??~解：U(fx)?C?e?t(x)exp(?ik)dx?C?e?exp(??x2)exp(?i2?fxx)dx

????fx?2~ikr0??fx2~ikr0?C?ee?C?eexp(??22)

f?Y方向为?函数，高斯分布的F变换仍为高斯分布。

3.80利用傅立叶变换方法，求包含N个狭缝的衍射光栅的夫琅和费衍射的强度分布公式。设狭缝宽度为a，光栅常数为d，光栅由单位振幅的单色光垂直照明。 解：U(fx)?C?e~~ikr0?~t(x)exp(?i2?fxx)dx

?1,x?[kd,kd?a]~t(x)??，

?0,x?[kd?a,(k?1)d]则

~ikr0N?1kd?a~~U(fx)?C?e??t(x)exp(?i2?fxx)dxk?0kd~ikr0N?1?C?e[?exp(?i2?fxkd)][exp(?i2?fxa)?1]/(?i2?f)

k?01?exp[?i2?fx(N?1)d]~?C?eikr0[1?exp(?i2?fxa)]/(i2?f)

1?exp(?i2?fxd)~~~I?UU??|C?|2f22kx?24sin(?fxa)2sin2(?fxNd)sin(?fxd)2

光的电磁性

40

4.1一束自然光和平面偏振光的混合光，通过一个可旋转的理想偏振片后，光强随着偏振变的取向可以有5倍的改变。求混合光中各个成分光强的比例。

解：自然光透过偏振片后，光强变为原来的一半；线偏光有一个可以消光的位置。所以

11I1?I2?5?I1，I2?2I1，自然光占66.7%，线偏光占33.3%。 22

4.2两偏振片的透振方向成300夹角时，透过的光强为I1，若其它条件不变而使上述夹角变为450，透射光强如何变化。

解：如果入射光为自然光，则I1?I0cos230??312I0，I2?I0cos245??I0?I1 423

4.3欲使一平面偏振光的振动面旋转900，（1）只用两块理想的偏振片，怎样做到这一点？

0

（2）如果用两理想偏振片使平面偏振光的振动面旋转旋转了90，最大的光强为原来的多少倍？ 解：

（1） 使第二片的透振方向与平面偏振光的振动方向保持垂直两偏振片保持垂直，而且第

一片的透振方向与平面偏振光的振动方向不垂直即可。

（2） 如果第一片与平面偏振光的振动方向夹角为?，则

1I?I0co?sco(s??)?I0

2422????/4

4.4假定在两个固定的正交理想偏振片之间插入第三个理想偏振片，其透振方向以角速度?旋转，试证明投射的光强满足如下关系式I?解：

1I0(1?cos4?t)。 8

41

从P2透射的光强I?I0cos2?tcos2(?/2??t)?11I0sin22?t?I0(1?cos4?t) 48

4.5一束椭圆偏振光与自然光的混合光沿z轴方向传播，通过一偏振片。当偏振片的透振方向沿x轴时，透射光强度最大，为1.5I0；透振方向沿y轴时，透射光强度最小为，I0。（a）当透振方向与x轴成?角时，透射光强是多少？与入射光中的无偏振部分相关吗？（2）如果入射光先通过一个

??片，再通过偏振片，片的光轴沿x轴，而偏振片的透振方向与x44轴成300角时透射光强最大，求此最大光强值，以及入射光中两成分的强度比例。 解：椭圆的长轴沿x方向。设自然光的光强为I1，而椭偏光的分量振幅为Ax，Ay。则

1?1?22I?A?1.5IA?1.5I?I1x00?21?x2（a）?，?

1122?I1?Ay?I0?Ay?I0?I12?2?P与X轴成?角，透过光强

I(?)?122I1?Axcos2??Aysin2?2?111I1?(1.5I0?I1)cos2??(I0?I1)sin2?222?1.5I0cos2??I0sin2??I0(1?0.5cos2?)

（b）

0

由于波片光轴沿椭偏光长轴，所以使椭偏光变为线偏光。而且振动方向与X轴成30。

1?22A?3A?1.5I?I1y0?x22222Ax?3Ay，?Ay?0.25I0，Ax?0.75I0，I1?1.5I0，

12?Ay?I0?I12?1722IMAX?I1?Ax?Ay?I0，入射光中自然光与椭偏光的光强比为1.5：1。

24

4.6四个理想偏振片堆叠起来，每一片相对于前一片顺时针转过300角，自然光入射，最后出射的光强为原来的多少倍？ 解：I?127I0(cos230?)2?I0 2128

4.7一起偏器和检偏器的取向使透射光强为最大，当检偏器转过（1）300；（2）450；（3）600时，透射光强各减小至最大光强的多少？

解：开始时两偏振器同向。检偏器转动，I/I0?cos?，为3/4，1/2，1/4。

2 42

4.8如果起偏器和检偏器透振方向间夹角是??30，（1）如果没有吸收，透射光强变为原来的多少？（2）如果它们各吸收了10%的光强，透射光强又变为原来的多少？

??30312解：（1）I/I0?cos??

28????3032432122（2）考虑吸收I/I0?(1?90%) cos?(1?10%)??0.81?28800?

4.9在两个正交偏振片之间插入第三个偏振片，求：（1）透射光强变为入射光强的1/8时，第三偏振片的方位角；（2）如何放置才能使最后的透射光强为零？（3）是否可以使透射光强变为入射的自然光强的1/2？

解：设插入片与第一片见夹角为?，则有I?（1）??11I0cos2?cos2(?/2??)?I0sin22? 28?4

（2）??0,?2

（3）不可能。

4.10如果Newton环装置中平凸透镜的折射率为n1，平板玻璃的折射率为n2，正入射一束线偏振光，试定性讨论干涉圆环的特点。

解：设入射光的偏振沿X方向，则沿Y轴看，只有P分量；沿X轴看，只有S分量。 球面处，振幅透射率

2n1n?1n?1，反射率1；平面处，振幅反射率2 n1?1n1?1n2?1n1?12n1n2?12，经平面反射的 n1?1n1?1n2?1n1?1两列光的振幅，球面直接反射的

4.11附图为一全反射棱镜，n2=1.6，计算由于反射而损失的能量。

43

解：

在界面处，i1?i2?0，

w1I1cos2i2n2A12P?A12Sn22n22n12T1????t?()222w0I0cosi1n1A0P?A0Sn1n1n1?n2?4n1n24?1.6??0.9467 22(n1?n2)(1?1.6)全反射无能量损失

22w2I2cos2i2n1A2n12n12n22P?A2ST2????t??()w1I1cos2i1n2A12P?A12Sn2n2n1?n2?4n1n24?1.6??0.9467 22(n1?n2)(1?1.6)2总透射率T?T1T2?0.9467?0.8963，能量损失1-0.8963=0.1037=10.37%。

4.12自然光以?B（Brewster角）入射到折射率为1.5的平行平面玻璃上，不计吸收，计算图中各处标示的光强值。 解：

?1?Es??E?s0??sin(i1?i2)?22??????sin(2i??/2)?cos2iB B?sin(i?i)??12???22221?tg2iB1??n2/n1?n12?n2cos2iB???2 2221?tgiB1??n2/n1?n1?n2 44

I1?I0SIcos22iB?022?n12?n2???n2?n2??

2??12Es22sini2cosiB2n122??2cosiB?1?cos2iB?22Es0sin(?/2)n1?n2EP22sini2cosiB2sin2i22sin2i2n????ctgiB?1 EP0sin(?/2)cos(iB?i2)cos(?/2?i2?i2)sin(2i2)n2I2S?I0Sn2n1n2n1?Es2??E?s0?EP2??E?P0?I0n2?2n12?2??2n??21?n1?n2?22?2n13n2???I0(n2?n2)2

12?2I2P?I0P?I0n2?n1?I0n1????n???2n ?2n1?2?2?22II2?02?3?Es??E?s22?n?2n??1?Es2?n2?EP2????????E?n1?EP1???s1??I?4n3nn1???0?212?? 222?(n1?n2)n2???2?n12?n2??2???cos2i?B??n2?n2??

?2??12I3?I3SI4S?I2S?Es?3?I0?4nn??Is2??E???2??n2?n2???s2?2??1n1n2?Es4??E?s22312222?n?n?2n13n2(n12?n2)??n?n???(n2?n2)4I0

12??4?I016n14n2???2(n2?n2)4

12?22121222222?I04n13n2n1?2n2???2(n2?n2)2n??n2?n22?1?122I4P?I2Pn1?EP4?n2??EP2n1n2?I0n1n1?n2????2n2n2???n12?I0?? ?2?422?I016n14n2(n12?n2)?? 224?2(n1?n2)?22I5?I5S?I3S222?Es5?2n13n2(n12?n2)n1?2n2??2242?E???I0?2n(n1?n2)2?n1?n2?s3?n1?1，n2?1.5，有

I1?0.0740I0，I2?0.6174I0，I3?0.0336I0，I4?0.8630I0，I5?0.0537I0

4.13振动面平行和垂直于入射面的平面偏振光分别以450角入射到折射率为1.52的平行平面

玻璃片上，经折射后透射的光强变为原来的多少？ 解：

45

Es22n1cosi12sini2cosi1??Es1n1cosi1?n2cosi2sin(i1?i2)EP22n1cosi12sini2cosi1?? EP1n2cosi1?n1cosi2sin(i1?i2)cos(i1?i2)I/I0?T1T2，T1ST2S?Es1Es2?2sini2cosi12sini1cosi22????[] ?EE?sin(i?i)sin(i?i)1212?s0s1?2?[sin2i1sin2i22]

2sin2(i1?i2)?EP1EP2???EE?P0P1?2sini2cosi12sini1cosi2??[]2 ?sin(i1?i2)cos(i1?i2)sin(i1?i2)cos(i2?i1)?2T1PT2P?[sin2i1sin2i2]2 222sin(i1?i2)cos(i1?i2)1?2/2sin??0.4622，cosi2?0.8852 n241.53i1??/4，n2?1.52，sini2?可得S分量透过率81.59%，P分量透过率98.14%。

4.14要使玻璃（折射率为1.5）的反射光为平面偏振光，入射角为多大？该角度是否与波长有关？折射光的偏振度是多大？ 解：iB?arctgn?arctg1.5?56.31?，因为光的色散，该角度与波长有关，即对于同一na介质，不同波长的光有不同的Brewster角。 折射光为部分偏振光。(AP2)(1)2sin2i2?AP1?AP1tgi2，(AS2)(1)?AS1?2sin2i2

sin2i2(IP2)(1)?偏振度

nIn1I02tgi2，(IS2)(1)?10?4sin4i2 n22n22 46

IMAX?Imintg2i2?4sin4i21?4sin2i2cos2i21?4sin2iBcos2iBP??2??422IMAX?Imintgi2?4sini21?4sini2cosi21?4sin2iBcos2iBs22tg2iB(n2/n1)2n2n122iiBn???2，cosiB?2 22221?tgiB1?(n2/n1)n1?n2n1?n2，而

224n2n11?22222(n1?n2)(n12?n2)(1?1.52)2P??4??0.07987 22224244nnn1?6n2n1?n21?6?1.5?1.51?22122(n1?n2)

4.15一束线偏振的钠黄光垂直射入一方解石晶体，其振动方向与晶体的主截面成200角，计算双折射的两束光的相对振幅和强度。

?Ao?Asin??Asin20??2?A/A?tg20?0.364I/I?tg20?0.132 解：?，，oeoe??Ae?Acos??Acos20

4.16如图所示为两块相同的冰洲石晶体A、B前后排列，强度为I的自然光垂直于A的表面入射之后一次通过A、B。A、B的主截面之间夹角为?。求??00，450，900，1800时由B射出的光束的数目和每束光的强度。 解：

（1）2束，在第二晶体中，o光方向不变，e光两次相同折射。光强相等。 （2）4束，o光，e光在第二晶体中各分为2束。光强相等。 （3）2束，在第二晶体中，o光，e光互换。光强相等。

（4）1束。在第二晶体中，o光保持原方向，e反向折射，重合。

4.17一束钠黄光掠入射到冰的晶体平板上，其光轴与入射面垂直，平板厚度为4.2mm，求o光与e光射到平板对面上两点的间隔。已知对于钠黄光，并的折射率为no?1.3090，

ne?1.3104

解：

47

x?d(tgio?tgie)?d(12no?1?1ne2?1)?1.27?10?2mm

4.18一水晶棱镜的顶角为600，光轴与棱镜的截面垂直，钠黄光以最小偏向角的方向入射，用焦距为1m的透镜聚焦，o光和e光两谱线的间隔是多少？ 解：

根据最小偏向角原则，晶体中o光的折射角为300，入射角射为?，则

sin??nosin30??1.54425?0.5?0.77213，??50.545?，由此， e光的折射角?满

足sin??sin??0.49707，??29.806?。 ne??E

光在另一侧面的入射角为??60???30.194，折射角

sin??nesin??1.55336?sin30.194??0.18122，??51.373?。

两谱线间隔??f(???)?1?(51.373?50.545)??180?0.0141m?1401mm

4.19钠黄光以500角入射到方解石制成的波片上，对于钠黄光（波长为589.0nm）方解石的折射率为no?1.658，ne?1.486。若其光轴垂直于入射面、且平行于晶片表面，求两束光在晶体内的夹角。若晶片厚1mm，求出射后两束光间的垂直距离是多少？ 解：

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nosinio?sin50?，

sin50?io?arcsin[]?27.52?1.658，

nesinie?sin50?，

sin50?ie?arcsin[]?31.12?。晶体中两光间夹角?i?ie?io?3.6?

1.486射出后光线间隔

?s?OEcos50??d(tgie?tgio)cos50??1?(tg31.12??tg27.52?)cos50??0.0532mm

4.20如图，一束光从方解石三棱镜的左边入射，晶体的光轴可以有x、y、z三种取向，分析每一种情况下出射光束的偏振特征，以及如何测定no、ne。 解：方解石是负晶体。 光轴沿x轴。

光轴沿y轴。

光轴沿z轴。

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选定特殊情况，即光轴垂直于入射面的情形。可以测得主折射率。

no?siniosinie，ne? sinisini

4.21将方解石分割厚度相等的两块，并移开一点距离，则一束自然光通过它们后将变为几条？为什么？

4.22是根据图中所画的情况，判断晶体的正负。

解：由作图法可以得出判断。前者为正晶体，后者为负晶体。

4.23一棱镜由一个负晶体的直角三棱镜（光轴垂直于图面）和玻璃直角三棱镜（折射率为n）组成自然光垂直入射，讨论以下几种情况双折射光束的传播方向：（1）n?no；（2）n?ne；（3）n?no；（4）no?n?no。 解

：

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