余数

知识点精讲

一、 利用数的整除特征求余数 2,5；4,25； 8,125；3,9； 注意利用11的整除特征求余数时何时余数是a，何时是（11—a）； 利用7,13的整除特征时，将六位数截开得到两个三位数的问题。

二、 替换求余法：

（1） 和的余数等于余数的和，再除以除数的余数：两个数的和除以某个数的余数，等于这

两个数分别除以这两个数后得到的余数相加后，再除以除数的余数； 17?5?32， 28?5?53

两个余数的和为：2?3?5 ，5?5?10 两个数的和为：17?28?45，45?5?90

（2） 差的余数等于余数的差，再除以除数的余数：两个数的差除以某个数的余数，等于这

两个数分别除以这两个数后得到的余数相减后，再除以除数的余数； 28?5?53，17?5?32

两个余数的差为：3?2?1，1?5?01； 两个数的差为：28?17?11，11?5?21。

（3）积的余数等于余数的积，再除以除数的余数：两个数的乘积除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相乘后，再除以除数的余数。 28?5?53，17?5?32

两个余数的积为：3?2?6，6?5?11； 两个数的积为：28?17?476，476?5?951。

三、 余数的周期性变化：

连续自然数除以3的余数按照0,1,2的周期变化，换成其他的除数也有类似规律。

四、 中国剩余定理。

A、一个数分别除以两个数余数相同，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数（余同） 例题：有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?

B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除（缺同）

例题：求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.

C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法。

例题：有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_____.

5、分解求余法：

一个数并不是常见的具有整除特征的数，如15，但是他可以分解成3×5。那么我们可以先分别计算这个数除以3和5的余数，然后再运用中国剩余定理求解。

课堂例题与练习

1. 已知：a=199119911991……1991,问：a除以13,余数是几？ 1991个1991

2. 100个7组成的一百位数,被13除后,问：余数是多少？

3. 199019901990------1990除以9的余数是多少？

1990个1990

4. 一个数除以3余2，除以4余2，这个数除以12余多少？

5. 31453?68765?987657的积,除以4的余数是_____. 6 8888乘以6666的积，除以7余数是_____.

50个850个6

7.求464646除以11的余数

46个46

8.计算下列各式的余数

81547×118÷7 2758×3361÷9

9642×2879×4787÷13 2461×135×6047÷11

9. 一个数被5、6、7整除余数都为1，这个数至少是多少？

10． 一个三位自然数被7、8、9除的余数分别为1,2,3。求这个三位自然数。

11.一个数100到200之间，被7除余1，被5除余3，被3除余2，求这个三位数。

12. 有一个大于1的整数，除365,450,314所得的余数都相同，求这个数。

课后复习与检测

课后总结（提炼重点难点）：

练习题：

1. 有一个数，除以3余数是1，除以5余数是3，这个数除以15余数是_____.

2. 一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是_____.

3. 222……22除以13所得的余数是_____. 2000个2

4. 五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有_____人.

5. 同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人.参加队列训练的学生最少有_____人.

6. 35437?64739?687747的积,除以4的余数是_____，除以11的余数是_____，除以9的余数是_____。

7. 35437+64739+687747的和,除以4的余数是_____，除以11的余数是_____，除以9的余数是_____。

8. 一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7个一堆放,还多出1个.这筐苹果至少有_____个.