4．1.2 圆的一般方程

【课标要求】

1．正确理解圆的一般方程及其特点． 2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．

3．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用． 【核心扫描】

1．依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．(重点) 2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．(难点)

3．准确理解方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0及其表示的图形．(易混点)

新知导学

圆的一般方程

二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＞0时，该方程叫做圆的一般方

DE1

－，－?，半径为 D2＋E2－4F. 程．其中圆心坐标为?2??22

温馨提示：圆的一般方程的形式特点：

(1)x2，y2的系数相等且不为零(如果x2，y2的系数不是1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个数，系数就可变为1)；

(2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F＞0.

互动探究

22

探究点 (1)二元二次方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0不表示圆的条件是什么？ (2)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F表示圆的条件是什么？

DE22－，－?；提示 (1)D2＋E2－4F≤0当D2＋E2－4F＝0表示点?当D＋E－4F＜0不表2??2

示任何图形；

(2)A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4F＞0.

类型一 二元二次方程的曲线与圆的关系

【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0.

[思路探索] 可以直接判断D2＋E2－4F的符号，也可以通过配方得到“标准方程”形式，进而解决问题．

解 (1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆． (2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆． (3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆．

55

x－?2＋y2＝??2， (4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为??4??4?5?5

，0为圆心，为半径的圆． ∴它表示以??4?4

[规律方法] 研究A1x2＋A1y2＋D1x＋E1y＋F1＝0表示什么曲线，通常是等号两边先同除以A1，转化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，然后可以朝着圆的标准方程方向直接配方求解，也可以利用公式法研究D2＋E2－4F的符号来判断方程表示圆、点或不表示任何图形．

【活学活用1】 已知方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示一个圆． (1)求实数a的取值范围；(2)求当圆的面积最大时，对应圆的方程．

3a2

因为原方程表示圆，则－－a＋1＞0，

4

2

即－3a2－4a＋4＞0，解得－2＜a＜，

32－2，?. ∴实数a的取值范围是?3??

1

(2)∵半径r＝ －3a2－4a＋4

222116

a＋?2＋，a∈?－2，?， ＝ －3?3??3?3?2

23223

∴0＜r≤，且当a＝－时，rmax＝，此时面积最大．

333

其对应方程为9x2＋9y2－6x－12y－7＝0. 类型二 求圆的一般方程

【例2】 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．

[思路探索] 已知圆上三点求其圆的方程，常设一般方程，用待定系数法求解． 解 法一 设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上，

1＋16＋D＋4E＋F＝0，??

∴?4＋9－2D＋3E＋F＝0，??16＋25＋4D－5E＋F＝0，

a3a

x＋?2＋(y＋a)2＝－－a＋1. 解 (1)原方程可化为??2?4

2

∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.

∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二 设△ABC的外接圆方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上， ?1－a?＋?4－b?＝r，??222∴??－2－a?＋?3－b?＝r，???4－a?2＋?－5－b?2＝r2，a＝1，??

解得?b＝－1，

??r＝5，0.

4－314＋5

＝，kAC＝＝－3， 1＋231－4

∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.

∴△ABC是以角A为直角的直角三角形． ∴外心是线段BC的中点，

1

坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.

2

∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.

展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0. [规律方法] 应用待定系数法求圆的方程时：

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，法三 ∵kAB＝

2

2

2

D＝－2，??

∴?E＝2，??F＝－23，

∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝

即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，

一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.

【活学活用2】 已知A(6,0)，B(－2,0)，C(－3,3)，D(6,3)，判断A，B，C，D四点是否共圆．

解 设过A(6,0)，B(－2,0)，C(－3,3)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A，B，C三点的坐标代入得

6＋0＋6D＋E×0＋F＝0，??

??－2?2＋02－2D＋E×0＋F＝0，???－3?2＋32－3D＋3E＋F＝0，

2

2

故A、B、C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－6y－12＝0， 把D(6,3)代入上述方程的左端得 62＋32－4×6－6×3－12＝－9＜0

∴点D在该圆内，∴A、B、C、D四点不共圆． 类型三 求动点的轨迹方程

【例3】 (1)求点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程．

(2)已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(a,0)(a≠0)距离的比为k的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状．

[思路探索] (1)用代入法；(2)用直接法．

解 (1)设圆上任意一点(x1，y1)，中点为(x，y)，

4，?x＝x＋2

则?y－2

y＝?2，11

D＝－4，??

解得?E＝－6，

??F＝－12.

代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

??|OM|

＝k?，由两点间的距离(2)设M(x，y)是曲线上的任意一点，即M属于集合P＝?M?

??|AM|?

??x1＝2x－4，

整理得?

?y＝2y＋2.?1

公式知点M所适合的条件可以表示为2

2

2

2

2

x2＋y22?x－a?＋y

化简得(k－1)x＋(k－1)y－2kax＋k2a2＝0. 当k≠1，即k＞1或0＜k＜1时，k2－1≠0，

2

k2a222－2ka∴x＋y＋2x＋2＝0.

k－1k－1

4k4a24k2a24k2a2∵2－＝＞0， ?k－1?2k2－1?k2－1?2－2k2ak2a222

∴所求曲线的方程是x＋y＋2x＋2＝0，

k－1k－1

2kaka

曲线表示以?k2－1，0?为圆心，以2为半径的圆．

??k－12

当k＝1，即k－1＝0时，

2＝k，

a

方程(k2－1)x2＋(k2－1)y2－2k2ax＋k2a2＝0变成－2ax＋a2＝0，即x＝，表示线段OA的

2

垂直平分线．

[规律方法] (1)对于已知(或能判定)曲线类型或形状的曲线求方程常用直接法、待定系数法．

(2)对于不能判定曲线类型或形状的曲线求方程主要有以下两类：

(i)若所求轨迹的动点依赖于已知轨迹上的点的运动而运动，设出这两个动点，利用过两个动点坐标之间的关系，用代入法求解．

(ⅱ)若不是(ⅰ)的情况时，常用直接法求曲线的方程，其一般步骤：

①建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)；②列出点M所满足的条件；③用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0；④将上述方程化简；⑤证明化简后以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．

【活学活用3】 (1)已知点A(4,0)，P是圆x2＋y2＝1上的动点，则AP的中点M的轨迹方程．

(2)等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

解 (1)设AP的中点M的坐标为(x，y)． 则点P的坐标是(2x－4,2y)．

又因为P是圆x2＋y2＝1上的点，

所以P点满足圆的方程，则(2x－4)2＋(2y)2＝1.

1

即(x－2)2＋y2＝为所求．

4

(2)设另一端点C的坐标为(x，y)． 依题意，得|AC|＝|AB|. 由两点间距离公式，得 ?x－4?2＋?y－2?2

＝?4－3?2＋?2－5?2，

整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.

这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示．又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合，所以C点的横坐标x≠3，而且

x＋3

点B、C不能为一直径的两端点，所以≠4，点C的横坐标x≠5.故端点C的轨迹方程是

2

(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)，即C的轨迹是以A(4,2)为圆心、10为半径的圆，但除以(3,5)和(5，－1)两点．

易错辨析 运用圆的方程因忽视隐含条件而 致错

【示例】 若动点(x，y)在圆x2＋y2－4x＝0上，求3x2＋4y2的最大值．

[错解] 由x2＋y2－4x＝0得，y2＝4x－x2，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，

所以当x＝8时，3x2＋4y2取得最大值64.

[错因分析] 圆x2＋y2－4x＝0即(x－2)2＋y2＝4是一个封闭图形，表示以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以x的取值范围不是R，而是[0,4]．

[正解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝4，∴y2＝4x－x2，x∈[0,4]．

所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64.因为x∈[0,4]， 所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48.

[防范措施] 用函数思想求与圆有关的最值问题时，一定注意不能忽略圆上的点(x，y)中的x，y的限制条件，也就是说要注意自变量的取值范围．

课堂达标

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．

A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)

DE

解析 －＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．

22

答案 D

2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是( )．

A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆 C．点(a，b) D．点(－a，－b) 解析 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0， ??x＝－a∴? ?y＝－b?

故方程表示的图形是一个点(－a，－b)． 答案 D

3．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．

解析 方程x2＋y2－2ay－4＝0表示圆，则x2＋(y－a)2＝a2＋4，a∈R时，a2＋4＞0恒成立，又点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，所以有(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4＜0，解得a＜1.

答案 (－∞，1)

4．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.

|3×1＋4×2＋4|

解析 圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.

5

答案 3

5．已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程． 解 法一 设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kPM·kPN＝－1，

y－0y－0即·＝－1，x2＋y2＝4， x＋2x－2

又当P、M、N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2， 即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．

1

法二 由直角三角形斜边中线的性质知|OP|＝|MN|＝2，由圆的定义知，点P的轨迹是

2

圆去掉M、N两点，设点P的坐标为(x，y)，

则其轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．

法三 由直径所对的圆周角为直角可知点P的轨迹是以M、N为直径的圆去掉M、N两点，设P点的坐标为(x，y)故其方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．

课堂小结

1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．

2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．

3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并 掌握求轨迹方程的一般步骤.