第1讲 集合、复数与命题

1．(2018·浙江)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则?UA等于( ) A．? B．{1,3} C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}

答案 C

解析 ∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}， ∴?UA＝{2,4,5}． 故选C.

2．(2019·温州九校联考)已知复数z满足(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数为( ) A.332＋2i B.13

2－2i C.32－32i D.132＋2

i 答案 B

解析 (1－i)z＝2＋i， ∴(1－i)(1＋i)z＝(1＋i)(2＋i)， 化为2z＝1＋3i， ∴z＝12＋32

i. 则z的共轭复数为13

2－2i，

故选B.

3．(2019·温州测试)已知集合A＝{1,2，－1}，集合 B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∪B等于(A．{1} B．{1,2，－1} C．{－1,1,2,4}

D．{1,4}

) 答案 C

解析 当x＝1时，y＝1； 当x＝2时，y＝4； 当x＝－1时，y＝1， ∴B＝{1,4}，

∴A∪B＝{－1,1,2,4}． 故选C.

4．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1

答案 A

解析 ∵P＝{x|－1

5．(2019·温州测试)已知a，b都是实数，那么“3a>3b”是“a3>b3” 的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 C

解析 对于“3a>3b”，因为函数y＝3x在R上单调递增， 所以“3a>3b”与“a>b”等价； 同样对于“a3>b3”，

因为函数y＝x3在R上单调递增， 所以“a3>b3”与“a>b”也等价； 所以“3a>3b”是“a3>b3” 的充要条件， 故选C.

6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 当x≥2，y≥2时，x2≥4，y2≥4， 则x2＋y2≥8，充分性成立； 当x＝1，y＝3时，满足x2＋y2≥4，

) )

但此时x<2，必要性不成立．

综上所述，“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故选A.

7.(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 ∵若m?α，n?α， 且m∥n，则一定有m∥α， 但若m?α，n?α，且m∥α， 则m与n有可能异面，

∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件． 故选A.

8．(2019·金华十校模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是( ) A．a>b－1 C．|a|>|b| 答案 B

解析 A选项，a>b－1是a>b的必要不充分条件； B选项，a>b＋1是a>b的充分不必要条件； C选项，|a|>|b|是a>b的既不充分也不必要条件； D选项，2a>2b是a>b的充要条件． 故选B.

9．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：

?1???y＝①M＝?x，y??x?；

??

B．a>b＋1 D．2a>2b

②M＝{(x，y)|y＝cos x}； ③M＝{(x，y)|y＝ex－2}； ④M＝{(x，y)|y＝lg x}．

其中所有“理想集合”的序号是( ) A．①③ C．②④

B．②③ D．③④

答案 B

1→→

解析 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又由x1x2＋y1y2＝0可知，OA⊥OB.①中，y＝是以x

x轴，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A，B在同一支上时，∠AOB<90°，→→当点A，B不在同一支上时，∠AOB>90°，不存在OA⊥OB，故①不是“理想集合”；②中，→→

通过对其图象的分析发现，对于任意的点A都能找到对应的点B，使得OA⊥OB成立，故②是“理想集合”；③中，由图象(图略)可得直角始终存在，故③是“理想集合”；④中，由→→

图象(图略)可知，点A(1,0)在曲线上，不存在另外一个点B使得OA⊥OB成立，故④不是“理想集合”．故选B.

10．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数，

命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，( ) A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 答案 A

解析 命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件； 命题②成立，由Venn图，

知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)， d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)， d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)， ∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)

＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]

＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C) ＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)] ≥2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∪C)∩B]＋card(A∩B∩C) ＝[2card(B)－2card(A∪C)∩B]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]≥0， ∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得证．

11．(2019·浙北四校模拟)已知U＝R，M＝{x|x2≤4}，N＝{x|2x＞1}，则M∩N＝ ，