第三章 平衡问题：矢量方法 习题解答
3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。
题3.1图 解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。
（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。
（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。
（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。
（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。
平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。
（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。
除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。
3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？
1
解：以送料机为研究对象，受力图如图示。满载时不致翻倒的临界状态是FNE?0。列平衡方程：
?mF?0，P?1?W?4?0，
解得P?4W?4?15?60(kN) 题3．2图 所以，当P?60kN时，才能使料斗在满载时不致翻倒。
3-3梁AB用三根杆支承，如图示。已知F1?30kN，F2?40kN，M?30kN?m，
q?20kN/m。试求三杆的约束力。
(a) 解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
? ?Fx?0，FCcos60??Fcos60?0， 1 FC??F1??30kN
?mB?0,?FA?8?M?FCsin60??3?F1sin60??8
?F2?4?q?3?1.5?0 FA?63.22kN.
???Fy?0, FA?FCsin60?FB?F1sin60?F2?q?3?0,
FB?88.74kN. 题3-3图 ,
（b）解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
????Fx?0， FDcos45?FBcos45?F2cos30?0，
?mC?0,?F2sin30?6?0,解得：FB?8.42kN,FD?57.4kN； ?Fy?0,
? FDsin45??FBsin45??FC?F1?F2sin30?0，
FDsin45??4?FBsin45??8?M?F1?2?
解得：FC?3.45kN。
题3-3图
3-4试求图示多跨梁的支座反力。已知（a）
M?8kN?m，q?4kN/m；（b）M?40kN?m，
q?10kN/m。
(a) 解：（1）先取BC梁为对象，画受力图，列平衡方程 ?mB?0，FC?4?q?6?3?0， FC?18kN；
题3-4图 2
?Fy?0, FBy?FC?q?6?0， FBy?6kN ?Fx?0，FBx?0kN
（2）再取AB梁为对象，画受力图，列平衡方程 ?Fx?0， FAx?FBx?0， FAx??FBx?0kN
?Fy?0, FAy?FBy?0， FAy?6kN;
?mA?0, mA?M?FBy?4?0, mA?32kN?m.
(b) 解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程:
?mC?0, FD?4?q?2?1?M?0,
FD?12kN; ?Fy?0, ?FCy?FD?q?2?0, FCy?4kN ?Fx?0，FCx?0kN
（2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程:
?mB?0, ?FAy?2?q?2?1?FCy?2?0,
FAy?0kN.
题3-4图 ?Fy?0, FAy?FB?q?2?FCy?0 FB?4kN. ?Fx?0, ?FAx?FCx?0 FAx?0kN.
（a）解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程:
?mC?0，FDa? FD?23-5梁的支承及载荷如图示。已知：F?qa，M?qa。试求支座的约束力。
12qa?M?0， 23qa。 2 ?Fx?0，FCx?0。
?Fy?0, FCy?FD?F?qa?0 FCy?1qa。 212qa?0， 22）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程: ?mB?0，?FAya?FCya? 题3-5图 FAy??qa。
?Fx?0，FAx?FCx?0，FAx?0。
3
?Fy?0, FAy?FB?FCy?qa?0， FB?5qa。 2（b）解：（1）取BC梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B点处的载荷集度为q/2。列平衡方程:
?Fx?0， FBx?0
?mB?0，
1q?2a?2?1?q?2a?22a?0， FC2a?222235 FC?qa。
631?Fy?0, ?FBy?FC?q?2a??0，
222 FBy??qa
3（2）取AB梁为对象，画受力图。列平衡方程: ?Fx?0，?FAx?FBx?0， FAx?FBx?0.
?mA?0， MA?FBy?2a?题3-5图 1q2?2a?2a?0, 223 MA?2qa2.
?Fy?0,FAy?FBy? FAy?1q?2a?0， 227qa. 63-6 图示构架中，重物W重1200 N，由细绳跨过滑轮E而水平地系于墙上，尺寸为：AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不计滑轮和杆的自重，求支座A和B处的约束力，以及杆BC的内力。
解：（1）以整体为研究对象，显然FT?W。 列平衡方程：
?Fx?0，FAx?FT?0， FAx?FT?W?120N0。 题3-6图
?mA?0，
，
FB?4?W(2?r)?FT(1.5?r)?0FB?0.875W?1050N
?Fy?0, FAy?FB?W?0， FAy?0.125W?150N。
（2）以AB杆为研究对象。列平衡方程：
??2?0， ?mD?0， ?FAy?2?FB?2?FBAsin其中sin??
4
1.51.52?22?3N。 。解得FBA??150053-7一凳子由杆AB、BC和AD铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力F如图示。求铰链E处的约束力。
解：（1）取整体为研究对象。 ?mA?0，FND?3a?Fa?0， FND?1F； 3（2）取AB杆为研究对象。 ?mB?0，FAy?3a?F?2a?0，
FAy?题3-7图 2F 3（3）取AD杆为研究对象。
?Fy?0, ?FAy?FEy?FND?0， FEy? AB杆受力图 AD杆受力图 1F。 33a3a?FEy?FND3a?0， FEx ?mA?0，
22FEx?F.
3-8 图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮以及绳索组成，H、G和E处为铰链，固结在杆EF上的销钉K放在杆CD的光滑槽内。已知物块M重P和水平力Q，尺寸如图示。若不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座A和C以及杆EF上销钉K的约束力。
解：（1）取整体为研究对象， ?mA?0，
FCy?4a?Q?6a?P?3a?0，
题3-8图 受力图（1） 3?2Q?P?； 4?Fy?0, FAy?FCy?P?0，
1 FAy??6Q?7P?；
4?Fx?0, FAx?FCx?Q?0。
FCy??（2）取EF杆连同轮为研究对象，显然FT?P。
?mH?0，
FNKsin45??2a?P?3a?FT?a?0，
FNK??2P.
受力图（2） 受力图（3） （3）取CD杆为研究对象， ?mG?0，
?FCx?4a?FCy?4a?FNK?22a?0， FCx??代入上面（1）中第3式，解得：
1?6Q?P?； 4FAx?
1?2Q?P?。 45
3-9 滑轮B与折杆AB和BC用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力P=500 N，不计各构件的自重，求各构件给销钉的力。
解：（1）取轮（不包括销钉）为对象， ?mB?0，FT?r?P?r?0， FT?P；
题3-9图 受力图（1） ?Fy?0,FBy?FT?0， FBy?FT?P； ?Fx?0, FBx?P?0， FBx?P； 轮对销钉的作用力是FBx,FBy的反作用力。
（2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB和BC都是二力杆，列平衡方程：
?Fx?0，?FBAcos??FBCsin??P?0，
?Fy?0，?FBAsin??FBCcos??FT?0，
7143其中，sin??,cos??。解得FBA??P,FBC?P。
5555受力图（2） 将数据代入，得：
FBx?FBy?500N,FBC?100N,FBA??700N。
3-10 由杆组成的结构如图示。A、B、C、E、G均为光滑铰链。已知F=20 kN, q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不计自重，求A和G处的约束力以及杆BE和CE的内力。
解：（1）取整体为研究对象，
?mG?0，
FAx?a?M?F?2a?2qa?a?0， FAx??M?2?F?qa??70?kN? a?Fx?0，?FAx?FGx?F?0，
题3-10图 受力图（1） （2）取GE杆为研究对象，
??Fx?0，?FGx?FECsin45?0，
FGx??50?kN? ；
?Fy?0，FAy?FGy?2qa?0。
FEC??502?kN?
?mE?0，FGya?M?0，
FGy?10?kN?；
将此代入（1）中第3式，得
受力图（2） FAy?30?kN?。
??Fy?0，FGy?FEB?FECcos45?0，
FEB?40(kN)
6
3-11构架由杆AB、AC和DF铰接而成，如图示。在杆DEF上作用一力偶矩为M的力偶。不计各杆的重量，求杆 AB上铰链A、D和B所受的力。
解：（1）取整体为研究对象，支座反力FC,FB必
组成力偶。
?mC?0，FB?2a?M?0，FB?（2）取DF杆为研究对象，
M； 2aM； aM 2a?mE?0，FDy?a?M?0，FDy?（3）取AB杆为研究对象，
?Fy?0，FDy?FAy?FB?0，FAy??mD?0，FAxa?0，FAx?0
?Fx?0，FAx?FDx?0，FDx?0。
3-12构架由杆AB、AC和DF组成，如图示。杆DF上的销子E可在杆AC的光滑槽内滑动。在水平杆DF的一端作用铅直力F，不计各杆的重量，求杆 AB上铰链A、D和B所受的力。
解：（1）取整体为研究对象，
?mC?0，FBy?2a?0， FBy?0； （2）取DF杆为研究对象，
?mE?0，FDy?a?F?a?0， FDy?F；
??mD?0，FNsin45?a?F?2a?0，
题3-11图和杆件受力图 FN?22F；
??Fx?0，?FDx?FNcos45?0， FDx?2F；
题3-12图和杆件受力图 （3）取AB杆为研究对象，
?mB?0，?FDx?a?FAx?2a?0， FAx??F；
?mD?0，?FBx?a?FAx?a?0， FBx??F；
?Fy?0，FBy?FDy?FAy?0，
FAy??FDy??F。
3-13不计图示结构中各杆的重量，力F=40kN 。求铰链A、B和C处所受的力。
解：（1）取DF杆为研究对象，
??mF?0，FCD?4?FBEsin45?2?0，
4FCD?2FBE?0， （a） （2）取CA杆为研究对象， ?mA?0，
?FCD?6?FBEsin45??2?F?4?0
6FCD?2FBE?4F?0， （b） 由式（a）和（b）联立解得：
题3-13图和杆件受力图 7
FCD??2F， FBE?42F； ?Fy?0，FBEcos45??FAy?0，FAy??4F。 ?mB?0，?FCD?4?FAx?2?F?2?0，FAx??3F
代入数据，得：FCD??80kN，FBE?1602kN，FAx??120kN，FAy??160kN。
3-14在图示构架中，A、C、D和E处均为铰链连接，杆BD上的销子B置于AC杆的光滑槽内，力F=200 N ，力偶矩M=100N-m ，不计结构中各杆的重量，求A、B和C处所受的力。
解：（1）取整体为研究对象， ?mE?0，
?FAy?1.6?M?F(0.6?0.8cos60?)?0，
FAy??87.5N。 （2）取BD杆为研究对象， ?mD?0，
题3-14受力图 受力图（1） FNB??550N； （3）取AC杆为研究对象，
??mC?0， FAx?1.6sin60
?FNBsin30??0.8?M?F?0.6?0，
?FAy?1.6cos60?FNB?0.8?0， FAx?267N；
??Fy?0，FAy?FNBsin30?FCy?0， FCy?187.5N；
? 受力图(2) 受力图（3） ?N。 ?Fx?0，FAx?FNBcos30?FCx?0， FCx?209
3-15用图示三角架ABCD和绞车E从矿井中吊起重G=30kN的重物，△ABC为等边三角形，三角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60°角，不计三角架的重量，求当重物被匀速吊起时各脚所受的力。
解：取滑轮和重物连同杆的一部分为研究对象，受力图及其在水平面的投影如图示，显然有：
FT?GHFDBH?，FDA?FDAcos60H??FDBcos60?，FDC?FDCcos60。因三
，
角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60°角，有
?Fz?0，
?FDB?FDC?FDA?FT?sin60??G?0， FDB?FDC?FDA??2.15G； （a） ?Fx?0，
?FDC?FT??FDC?FDA?cos60?cos60??0
?FDC??FDC?FDA?cos60??G； （b）
题3-15图及其构件的受力图 8
?Fy?0，?FDC?FDA?cos60?sin60??0， FDC?FDA； （c）
由式（a）、（b）和（c）解得：FDA?FDB?31.55kN,FDC??1.55kN.
3-16 重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM和BM拉住。已知物重W=1000 N, 斜面的倾角??60?，绳与铅垂面的夹角分别为??30?和??60?。如果物体的尺寸忽略不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。
解：取重物M为研究对象，画受力图，建立M-xyz直角坐标系，其中xy沿斜面，z轴与斜面垂直。
?Fz?0，FN?Wcos??0， FN?Wco?s；
?Fy?0，FAsin??FBsin??0，
题3-16图 重物的受力图 ?Fx?0，FAcos??FBcos??Wsin??0，
解得：Fsin?sin?A?sin(???)W,Fsin?sin?B?sin(???)W, 将数据代入，得FA?750N，FB?433N，FN?500N。
3-17 图示一空间桁架，由六根杆组成。一力P=10 kN ，作用于节点A，此力在ABNDC铅垂面内，且与铅垂线CA成45°角。△EAK和△FBM相等，皆为铅垂等腰直角三角形，并与ABNDC直交，其余见图示。求各杆的内力。
解：（1）取节点A为研究对象，
?F?0，Psin45?y?F3?0，
F23??2P； ?F??x?0，F1cos45?F2cos45?0， 题3-17图 F1?F2；
?F??45?z?0， F1cos45?F2cos45?Pcos?0，
F11?F2??2P。
（2）取节点B为研究对象，
?Fy?0，F6sin45??F3?0， F6?P； ?Fx?0，F?4cos45?F5cos45??0， F4?F5； ?Fz?0， 节点的受力图 F4cos45??F5cos45??F?6cos45?0，
FF14?5??2P。
代入数据得：
F1?F2??5kN，F3??7.07kN，F4?F5??5kN，F6?10kN。
9
3-18三脚圆桌的半径r=50 cm，重为G=600 N，圆桌的三脚A、B和C形成一等边三角形。如在中线CO上距圆心为a的点M处作用一铅垂力P=1500 N，求使圆桌不致翻倒的最大距离a。
解：取三脚圆桌为研究对象，
?mAB?0FNC?r?rsin30??Pa?rsin30??????Grsin30??0 题3-18图 圆桌受力图 ?， ?，
圆桌不致翻倒的条件：FNC?0，
Grsin30??Pa?rsin30??0，
a?代入数据，得使圆桌不致翻倒的最大距离为amax
r?G?P? 2P?35cm。
3-19 手摇钻由支点B、钻头A和一个弯曲的手柄组成。当支点B处加压力Fz和Fx,Fy，以及手柄上加力F后，即可带动钻头绕轴AB转动而钻空。已知：Fz?50N，F?150N，求：（1）钻头受到的阻抗力偶矩M；（2）材料对钻头的约束力FAx,FAy,FAz的值；（3）力
Fx,Fy的值。
解:取手摇钻为研究对象, 钻头在A点受到阻碍其移动的约束力和阻碍其绕z轴转动的约束力偶作用,受力图如图示.
?Fz?0, FAz?Fz?0, FAz?Fz?50N;
?mz?0, MA?F?0.15?0,
MA?F?0.15?22.5N?m; 题3-19图 摇钻受力图 ?my?0, Fx?0.4?F?0.2?0, FFx??75N.
2 ?Fx?0, FAx?Fx?F?0, FAx??Fx?F?75N. ?mx?0, Fy?0.4?0, Fy?0N.
3-20 图示水平轴AB作匀速转动，其上装有齿轮C及带轮D，齿轮直径为240mm。已知胶带紧边的拉力为200 N，松边的拉力为100 N，尺寸如图示。求啮合力F及轴承A和B
处的约束力。
解: 取水平轴连同齿轮及带轮为研究对象, ?my?0,
?Fy?0, FAy?Fy?0, FAy?0N
Fcos20??0.12?(200?100)?0.08?0， F?70.9N； ?mz?0， 题3-20图 水平轴连同齿轮及 带轮受力图 ?Fcos20??0.1?FBx?0.35?0，
FBx??19N；
10
?Fx?0， FAx?Fcos20??FBx?0，FAx?47.6N； ?mx?0，?Fsin20??0.1?(200?100)?0.25?FBz?0.35?0， FBz?207.4N
?Fz?0，?Fsin20??(200?100)?FBz?FAz?0， FAz??68.4N。
3-21一端有绳子拉住的重100 N的物体A置于重200 N的物体B上如图示，B置于水平面上并作用一水平力F。若各接触面的静摩擦因数均为0.35,试求B即将向右运动时力F的大小。
解：根据题意，设物体系统处于临界平衡状态，此时各接触面间的摩擦力均达到最大值。 （1）取物体A为研究对象，
?Fx?0， FmA?FTcos30??0， ?Fy?0， FNA?FTsin30??GA?0， 补充方程：FmA?fsFNA。 题3-21图 物体A和B的受力图 解得：
FNA?（2）取物体B为研究对象，
33fsGA，FmA?GA。
fs?3fs?3 ?Fy?0， FNB?FNA?GB?0， FNB?GB? ?Fx?0， FmA?FmB?F?0， 补充方程：FmB?fsFNB。
3GA；
fs?323fsGA?fsGB。
fs?3代入数据得，F?128.23N。
解得：F?FmA?FmB?
3-22 重物A与B用一不计重量的连杆铰接后放置如图示。已知B重1 kN ，A与水平面、B与斜面间的摩擦角均为15°。不计铰链中的摩擦力，求平衡时A的最小重量。
解：根据题意，此时物体系统处于临界平衡状态，各接触面间的摩擦力均达到最大值。
（1）取重物B为研究对象， ?Fx?0，
题3-22图 物体A和B的受力图 补充方程：FmB?fsFNB， 其中fs?tan?s.
?FABcos15??GBsin45??FmB?0， ?Fy?0，
FABsin15?GBcos45?FNB?0，
?? 11
sin45??fscos45?解得：FAB??GB。 ??cos15?fssin15代入数据得：FAB??0.5kN。
（2）取重物A为研究对象，
?Fx?0， FABcos30??FmA?0， ?Fy?0， FABsin30??GA?FNA?0， 补充方程： FmA?fsFNA，
?cos30????解得：GA??FAB??sin30?f?。将数据代入，得：GA?1.37kN。
s??
3-23利用劈尖原理升高重物的装置如图示。设重物重20 kN ，各接触面间的摩擦角均为12°，不计劈尖的重量，计算图示情况升高重物所需的最小水平力F。
解：当重物有上升趋势时，劈尖B有向右运动趋势。各接触面间的摩擦力都达到最大值。 （1）取重物连同劈尖A为研究对象，
?? ?Fx?0， FRA1cos12?FRA2sin18?0，
?Fy?0，
?FRA1sin12??FRA2cos18??GA?0，
题3-23图 物体A和B的受力图 cos12?GA， 解得：FRA2?cos30?即 FRA2?22.59kN。
（2）取劈尖B为研究对象，
?Fy?0，FRBcos12?FRA2cos18?0，
?? ?Fx?0，F?FRBsin12?FRA2sin18?0，
??sin30?FRA2。 代入数据，得：F?11.55kN。 解得： F??cos12
3-24起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。已知制动轮半径R=50cm，鼓轮半径r=30 cm，制动轮与制动块间的摩擦因数fs?0.4，被提升的重物重G=1000 N ，手柄长l?300cm,a?60cm,b?10cm，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需。
解：当力F为最小值时，制动轮有逆时针转动趋势，触面间的摩擦力达到最大值。 （1）取制动轮为研究对象， ?mO?0,Fm?R?G?r?0,
题3-24图 制动轮和手柄的受力图 rG, R摩擦定律：Fm?fsFN
r?FN?G。
Rfs Fm?(2) 取手柄连同制动块为研究对象，
12
?mA?0，?Fm?b?FN?a?F?L?0， F?代入数据，得：F?280N。
r?a?bfs?G LRfs3-25砖夹的宽度为250 mm，曲杆AGB与GCED在G点铰接，尺寸如图所示。设砖重P=120 N，提起砖的力F作用在砖夹的中线上，砖夹与砖间的摩擦因数fs?0.5。求距离d为多大时才能把砖夹起。
解：当距离d取最大值时，系统处于临界平衡状态，此时，全反力与正压力之间的夹角为摩擦角。 （1）折杆GCED为研究对 题3-25图 受力图（1） 受力图（2） 象，此折杆为二力构件，其约束力一定沿着GD连线。因此，平衡条件为：
???s，即，tan?? b?110mm.
b?fs，
250?30(2)取图示折杆AGB连同折杆GCED为研究对象，由三力平衡汇交定理知，A处全反力必与D处全反力对称地交于一点。因此，当D处不滑动时A处必也不滑动。
3-26图示重100 N、高H=20 cm、底面直径d=10 cm的正圆锥体放在斜面上。静摩擦因数fs?0.5，质心C的位置h=H/4。求锥体在斜面上保持静止时作用于圆锥顶点的水平力FP的大小。
解：取圆锥体为研究对象。
（1）设力FP较小，圆锥体有下滑或逆时针翻倒趋势。
?Fx?0，F?FPcos??Gsin??0，
题3-26图 受力图（1） 受力图（2） F?Gsin??FPcos?； ?Fy?0，
FN?FPsin??Gcos??0，
解得： FN?FPsin??Gco?s；
其中?为斜面倾角。最大静滑动摩擦力 Fm?fsFN。 不滑动条件：F?Fm?fsFN。
解得：FP?Gtan(???s)，其中?s为摩擦角。 ?mO?0，?FNb?FPcos??H?Gsin??h?0，
H?sin?cos????s??4cos?sin????s??.
4cos?sd?5cm，所以，圆锥在滑动临界状态时不会翻倒。FP的代入数据，得：b?1.63cm??2b?
13
下限要求 FP?6.0N。
（2）设力FP较大，圆锥体有上滑或顺时针翻倒趋势。
?Fx?0，?F?FPcos??Gsin??0， F??Gsin??FPco?s， ?Fy?0，FN?FPsin??Gcos??0， FN?FPsin??Gco?s； 最大静滑动摩擦力 Fm?fsFN。不滑动条件：F?Fm?fsFN。 解得：FP?Gtan(???s)。
?mO?0，FNb?FPcos??H?Gsin??h?0，
H??sin?cos????s??4cos?sin????s??. b?4cos?sd?5cm。因此，在没有达到滑动临界状态时，圆锥已代入数据，得：b?14.62cm??2d4FPco?s?Gsin?Hd经。不翻倒的条件是b?，即 b??
2FPsin??Gco?s422dcos??Hsin?G，代入数据，得FP?46.1N。 由此得，FP?4Hcos??2dsin?综上分析，FP的取值范围为 6.0N?FP?46.1N。
3-27攀登电线杆的脚套钩如图示。设电线杆的直径d=300 mm，A和B之间的的垂直距离b=-100 mm。若套钩与电线杆之间的摩擦因数fs?0.5。求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最最小距离l应为多大。
解：取套钩为研究对象，在平衡状态下，A和B点处的全反力作用线的交点只可能落在图示阴影区域内，按三力平衡汇交定理，第三个力的作用线必须穿过这个阴影区域，最最小距离l是过C点。由几何关系得
题3-27图 套购的受力图 须 l?
d??d??s??l??tan?s?b， ?tan2?2??b 解得 l?。实际设计时，考虑到安全因素，
2fs ?l???b，代入数据，得l?100cm。 2fs3-28不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数为fs，门高为h。若在门上2 h /3处用水平力F拉门而不致被卡住，求门宽b的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小
值有否影响？
解：取门为研究对象，当门太窄时，在水平力作用下门有顺时针的角位移，使门的A和E点与门的上下滑道接触，设门处于滑动的临界平衡状态，受力图如图示，
b2?mE?0，FNAb?FmAh?G?Fh?0，
23 题3-28图 门的受力图 14
?Fx?0， FmA?FmE?F?0， ?Fy?0，?FNA?FNE?G?0，
补充方程：FmA?fsFNA，FmE?fsFNE。
12Gh。 以上5个方程联立，解得：b?fsh?fs3F由于门被卡住时平衡已与力F的大小无关，令F??，导出门不被卡住时的门宽b的最小
1值bmin?fsh，此时与门重无关。
3
3-29一半径为R、重为P1的轮静止在水平面上，如图示。在轮上半径为r的轴上绕有细绳，此绳跨过滑轮A，在端部系一重为P2的物体。绳的AB部分与铅直线成?角。求轮与水平面接触点C处的滚阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反力。
解：取轮为研究对象，FT?P列平衡方程： 2。
3-30钢管车间的钢管运转台架，钢管依靠自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径50mm。设钢管与台架间的滚阻系数??0.5mm。试决定台架的最小倾角?的大小。
解：取钢管为研究对象，设钢管重为G，且钢管处于临界滚动状态，
?Fy?0，FN?Gcos??0， FN?Gcos?；
题3-29图 轮的受力图 ?Fx?0，F?FTsin??0， 滑动摩擦力：F?P2sin?； ?Fy?0，FN?P1?FTcos??0， 法向反力： FN?Ps； 1?P2co??mE?0，MC?FR?FTr?0， 滚阻力偶矩：MC?P2?Rsin??r?。
题3-30图 钢管的受力图 ?mC?0，MC?Gsin??R?0 MC?GRsin?
在临界滚动状态，滚动摩阻力偶达到最
大值MC?Mf,max。其中，Mf,max??FN。将FN代入，得tan???R，代入数据， ?min?1?9'。
3-31汽车P=15 KN， 车轮的直径为600 mm，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80 mm的阻碍物？并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为多大才不致打滑？
解：（1）取汽车为研究对象。设汽车处于将要翻过阻碍物的临界平衡状态，此时，前轮恰好与地面脱离，后轮的滑动摩擦力取最大值。
?mE?0，
FNB?2.4?0.3sin???FmB?0.3?1?cos???P?1.2?0.3sin???0,(a)
题3-31图和汽车的受力图 15 11226。 ，sin??1515（2）取车身为研究对象，设M为驱动力偶。
?mA?0，FBy?2.4?P?1.2?M?0。 （b）
其中cos??（3）取车轮B为研究对象，
?mB?0， FmB?0.3?M?0， （c）
?Fy?0， FNB?FBy?0， （d） 补充方程： FmB?fsFNB， （e）
将方程（a）~（e）联立，解得：M?1.867kN?m,fs?0.752。即，发动机应给予后轮的力偶矩为M?1.867kN?m，此时后轮与地面的静摩擦因数须fs?0.752。
3-32试指出图示桁架中的零杆。
解：对节点进行受力分析，可以判断出零杆， 研究对象 节点A 节点B 零杆号 1、4 7 9 研究对象 节点D 整体 节点E 零杆号 13 14 11 题3-32图 节点A、B、C 节点C 3-33计算图示桁架中标号的各杆的内力。各垂直载荷的大小均为F，已知：a?3m，
解：（1）取整体为研究对象，
b?4m，F?5kN。
?mB?06aFA?Fa?5?4?3?2?1??0， FA?2.5F。
（2）取图示截面为研究对象， ?mC?0，
，
Fs1b?FA3a??1?2?aF?0，
aF。 b 题3-33图和整体和截面的受力图 ?mD?0，Fs3b?FA?2a?F?a?0，
4aFs3?F。
baF。 ?Fx?0，Fs1?Fs2sin??Fs3?0， Fs2?0.5bsin?3其中，sin??。代入数据，得：
5 Fs1??16.9kN,Fs2?3.1kN,Fs3?15.0kN。
Fs1??4.5
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3-34试指出图示桁架中的零杆，并求出AB杆的内力。
解：（1）由节点的受力分析知，零杆为1、2、3、4号杆。 （2）取整体为研究对象， ?mD?0，
a?0， 2F FCy??；
4 FCy?2a?F? 题3-34图和受力图
（3）取桁架的左半部（去掉零
杆）为对象，
a?F5sin45?a?FCya?0， 2F FAB?2F5?； （a）
2 ?mE?0，FAB（4） 取节点G为对象，
?Fy?0，F8?2F?0； （b） 2（5）取三角形BHI为对象，
22F5a?F8a?0， 22 F5?F8?0， （c）
F联立方程（a）~（c），解得FAB??。
2 ?mB?0
3-35平面悬臂桁架受力如图示。求杆1、2和3的内力。
解：(1)取Ⅰ截面右半部分为研究对象，
，?mD?0F2?6?F?6?4?2??0，
F2?2F；（拉）
（2）取Ⅱ截面右半部分为研究对象，
，?mC?03F1?3??F?2?4?6??0，
416 F1??F??5.33F；
3（3）取节点E为研究对象，
?Fy?0，F3sin??F2?F?0，
题3-35图和截面受力图 得
其中， tan??1.5,??36.87?。解2F3??1.67F
17
3-36平面桁架受力如图示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。
题3-34图和截面受力图 解得：FCD??32F??0.866F。 解：（1）取整体为研究对象，
?m?0，F60?BAy2a?Fasin?0，
F3Ay??4F； （2）取三角形ADE为研究对象，
?m?D?0，F1sin60?a?FAy?a?0，
F1?F2； （3）取节点C为研究对象，
?F0，F30??F?x?1sin4sin30?0， F1?F4；
?F??y?0，F1cos30?F4cos30?FCD?0，18