中国校长网教学资源频道 http://zy.zgxzw.com 由d?1c3c，得a?2b?2a2?c2，解得离心率? 2a2（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2?4y2?4b2
①
依题意，圆心M(?2,1)是线段AB的中点，且|AB|?10
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y?k(x?2)?1，代入①式得
(1?4k2)x2?8k(2k?1)x?(2k?1)2?4b2?0
8k(2k?1)4(2k?1)2?4b2,x1x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??
1?4k21?4k2由x1?x2??4，得?从而 于是
8k(2k?1)1??4k?，解得
1?4k22x1x2?8?2b2
15|AB|?1?()2|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?10(b2?2)
2222由|AB|?10，得10(b?2)?10，解得b?3
故
x2y2??1 椭圆E的方程为
123解法二：
由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2?4y2?4b2
②
依题意，点A,B关于圆心M(?2,1)对称，且|AB|?10 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
22x12?4y12?4b2,x2?4y2?4b2，
两式相减并结合x1?x2??4,y1?y2?2，得
?4(x1?x2)?8(y1?y2)?0，
易知AB与x轴不垂直，则x1?x2， 所以
AB的斜率kAB?y1?y21?
x1?x221(x?2)?1，代入②得 2因此 直线AB的方程为y?历年全国高考试题 http://www.zgxzw.com/gaokaoshiti
中国校长网教学资源频道 http://zy.zgxzw.com x2?4x?8?2b2?0
所以 于是
x1?x2??4,x1x2?8?2b2，
15|AB|?1?()2|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?10(b2?2)
2222由|AB|?10，得10(b?2)?10，解得b?3
故 21.解：
x2y2??1 椭圆E的方程为
123（Ⅰ）Fn(x)?fn(x)?2?1?x?x2?...?xn?2，
则Fn(1)?n?1?0，
11?()n?1111112Fn()?1??()2?...?()n?2??2??n?0，
1222221?2所以Fn(x)在(,1)内至少存在一个零点 又Fn?(x)?1?2x?...?nxn?112?0，
故Fn(x)在(,1)内单调递减，
所以Fn(x)在(,1)内有且仅有一个零点xn， 因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)?0，
n?111n?11?xn即 ?2?0，故xn??xn221?xn1212（Ⅱ）解法一：
(n?1)(1?xn)由题设，gn(x)?
2(n?1)(1?xn),x?0 设h(x)?fn(x)?gn(x)?1?x?x?...?x?22n当x?1时，fn(x)?gn(x)
历年全国高考试题 http://www.zgxzw.com/gaokaoshiti
中国校长网教学资源频道 http://zy.zgxzw.com 当x?1时，h?(x)?1?2x?...?nx若0?x?1,h?(x)?xn?1n?1n?1n(n?1)xn?1?
2n?1?2x?...?nxn(n?1)xn?1?
2n(n?1)xn?1n(n?1)xn?1???0
22若x?1，h?(x)?xn?1?2xn?1?...?nxn?1n(n?1)xn?1?
2n(n?1)xn?1n(n?1)xn?1???0
22所以h(x)在（0,1）上递增，在(1,??)上递减， 所以h(x)?h(1)?0，即fn(x)?gn(x)
综上所述，当x?1时，fn(x)?gn(x)；当x?1时，fn(x)?gn(x)
解法二：
(n?1)(1?xn),x?0 由题设，fn(x)?1?x?x?...?x，gn(x)?22n当x?1时，fn(x)?gn(x)
当x?1时，用数学归纳法可以证明fn(x)?gn(x) ①当n?2时，f2(x)?g2(x)??1(1?x)2?0，所以f2(x)?g2(x)成立 2②假设n?k(k?2)时，不等式成立，即fk(x)?gk(x) 那么，当n?k?1时，
fk?1(x)?fk(x)?xk?1?gk(x)?xk?1(k?1)(1?xk)??xk?1
22xk?1?(k?1)xk?k?1?
22xk?1?(k?1)xk?k?1kxk?1?(k?1)xk?1?又gk?1(x)?
22令hk(x)?kxk?1?(k?1)xk?1(x?0)，
kk?1k?1则hk?(x)?k(k?1)x?k(k?1)x?k(k?1)x(x?1)
所以，当0?x?1时，hk?(x)?0,hk(x)在（0，1）上递减；
历年全国高考试题 http://www.zgxzw.com/gaokaoshiti
中国校长网教学资源频道 http://zy.zgxzw.com 当x?1时，hk?(x)?0,hk(x)在(1,??)上递增 所以hk(x)?hk(1)?0
2xk?1?(k?1)xk?k?1从而gk?1(x)?
2故fk?1(x)?gk?1(x)，即n?k?1时不等式也成立 由①和②知，对一切n?2的正数，都有fn(x)?gn(x)
解法三：
由已知，记等差数列为{ak}，等比数列为{bk},k?1,2,...,n?1 则a1?b1?1,an?1?bn?1?xn
xn?1(2?k?n)， 所以ak?1?(k?1)?nbk?xk?1(2?k?n)，
xn?1k?1?x,x?0(2?k?n) 令mk(x)?ak?bk?1?(k?1)?n当x?1时，ak?bk，所以fn(x)?gn(x) 当x?1时，mk?(x)?k?1n?1?nx?(k?1)xk?2 n?(k?1)xk?2(xn?k?1?1)
而2?k?n，所以k?1?0,n?k?1?1
n?k?1?1,mk?(x)?0； 若0?x?1,x若x?1,xn?k?1?1,mk?(x)?0，
从而mk(x)在（0，1）上递减，在(1,??)上递增， 所以，mk(x)?mk(1)?0，
所以，当x?0且x?1时，ak?bk(2?k?n)， 又a1?b1,an?1?bn?1， 故fn(x)?gn(x)
综上所述，当x?1时，fn(x)?gn(x)；
当x?1时，fn(x)?gn(x)
历年全国高考试题 http://www.zgxzw.com/gaokaoshiti