2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题(解析版) 下载本文

???fx所以??在?,x1?内单调递增,不符合题意.

2??所以当a??1时,f?x?在?综上可得a??1,

故a的取值范围为???,?1. 【点睛】

本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用,同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想,属于中档题.

22.设m为正整数,各项均为正整数的数列{an}定义如下: a1?1,

???,??内不单调递减. 2????an?,an为偶数,an?1??2

??an?m,an为奇数.(1)若m?5,写出a8,a9,a10;

(2)求证:数列{an}单调递增的充要条件是m为偶数; (3)若m为奇数,是否存在n?1满足an?1?请说明理由.

【答案】(1)a8?6,a9?3,a10?8;(2)证明见解析;(3)存在,理由见解析. 【解析】(1)m?5时,结合条件,注意求得a8,a9,a10; (2)根据an?1?an与零的关系,判断数列?an?单调递增的充要条件; (3)存在n?1满足an?1. 【详解】

(1)a8?6,a9?3,a10?8. (2)先证“充分性”.

当m为偶数时,若an为奇数,则an?1为奇数.

因为a1?1为奇数,所以归纳可得,对?n?N*,an均为奇数,则an?1?an?m, 所以an?1?an?m?0, 所以数列?an?单调递增. 再证“必要性”.

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假设存在k?N*使得ak为偶数,则ak?1?因此数列?an?中的所有项都是奇数.

ak?ak,与数列?an?单调递增矛盾, 2此时an?1?an?m,即m?an?1?an,所以m为偶数. (3)存在n?1满足an?1,理由如下:

因为a1?1,m为奇数,所以a2?1?m?2m且a2为偶数,a3?假设ak为奇数时, ak?m;ak为偶数时,ak?2m. 当ak为奇数时,ak?1?ak?m?2m,且ak?1为偶数; 当ak为偶数时,ak?1?1?m?m. 2ak?m. 2所以若ak?1为奇数,则ak?1?m;若ak?1为偶数,则ak?1?2m. 因此对?n?N*都有an?2m.

所以正整数数列?an?中的项的不同取值只有有限个,所以其中必有相等的项. 设集合A?{?r,s?|ar?as,r?s},设集合B?{r?N|?r,s??A}?N.

**因为A??,所以B??.

令r1是B中的最小元素,下面证r1?1. 设r1?1且ar1?as1(r1?s1).

当ar1?m时,ar1?1?2ar1,as1?1?2as1,所以ar1?1?as1?1; 当ar1?m时,ar1?1?ar1?m,as1?1?as1?m,所以ar1?1?as1?1. 所以若r1?1,则r1?1?B且r1?1?r1,与r1是B中的最小元素矛盾.

*所以r1?1,且存在1?s1?N满足as1?a1?1,即存在n?1满足an?1.

【点睛】

本题考查数列的递推关系,考查数列的单调性,考查学生分析问题及解决问题得能力,属于难题.

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