（2）① 当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为x?1． 显然，A?1,3?3??3????3?B1,?A1,?B，或，??????1,?． 222???????2?当A?1,3?1?3??B1,?y?，时，直线的方程为?x?2?，点M的坐标为?4,3?． DA???222???? 所以kMF?1．

直线FN的方程为y???x?1?，点N的坐标为?4,?3?．

uuuv?v3?uuuDB?3,?则??，DN??6,?3?．

2??uuuvuuuv所以DN?2DB，所以D，B，N三点共线．

同理，当A?1,???3??3?B，??1,?时，D，B，N三点共线． 2??2?② 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?k?x?1?．

由??y?k?x?1?,22?3x?4y?12得3?4k?2?x2?8k2x?4k2?12?0． ?12?0．

??且???8k2??2?43?4k2???4k2?4k2?128k2设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则x1?x2?，x1x2?．

3?4k23?4k2直线DA的方程为y?y1???x?2?，点M的坐标为?4,6y1?． x1?2?x1?2?所以

kMF6y1?0x1?22y1． ??4?1x1?2直线NF的方程为y???3?x1?2??x1?2x?1??，点N的坐标为?4,??． 2y12y1??uuuv?uuuv3?x1?2??DN?6,?则DB??x2?2,y2?，??．

2y1??所以?x2?2???3?x1?2?2y1?6y2

??3??x1?2??x2?2??4y1y2??， 2y1?第 17 页 共 22 页

??32?x?2x?2?4k?????x1?1??x2?1??12?， 2y1???3?221?4kxx?2?4k122y1??????x?x??4k122?4??，

2?3?8k224k?1222??1?4k?2?4k?4k?4?3?4k2??3?4k2???，

2y1??231?4k???2y1???4k2?12?2?4k28k2?4k2?43?4k23?4k2???????，

34k2?12?16k4?48k2?16k2?32k4?12k2?12?16k4?16k2???

2y13?4k2?0．

所以DB与DN共线， 所以D，B，N三点共线． 综上所述，D，B，N三点共线． 【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．已知函数f(x)?(sinx?a)lnx，a?R． （1）若a?0.

（ⅰ）求曲线y?f(x)在点(uuuvuuuv?,f())处的切线方程；

22?（ⅱ）求函数f(x)在区间(1,?)内的极大值的个数．

（2）若f(x)在??π?,π?内单调递减，求实数a的取值范围． ?2?【答案】（1）（ⅰ）2x??y????ln?2?0；（ⅱ）1；（2）(??,?1]．

???f??，利用点斜式得到直线的方程；?2?【解析】（1）（ⅰ）求出导函数，得到f??????与?2?（ⅱ）研究函数在区间?1,??内单调性，结合极值的定义得到答案； （2）由题可知f??x??sinx?a????cosxlnx，其中x??,??，分两类情况：a??1与x?2?a??1，

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结合函数的单调性与极值即可得到实数a的取值范围． 【详解】

（1）（ⅰ）因为f?x??sinxlnx， 所以f??x??cosxlnx?sinx???2，f????． x?2??又因为f??????ln， ?22????,2?所以曲线y?f?x?在点?化简得2x??y????ln（ⅱ）当x??1,?2???????f???处的切线方程为y?ln??x??，

2??2??2???2?0．

????时，f??x??0，f?x?单调递增，此时f?x?无极大值． 2??当x??2cosxsinx???,??时，设g?x??f??x?，则g??x???sinxlnx??2?0，

xx?2????,??内单调递减． 2??所以f??x?在?又因为f?????2???0， f??????ln??0， ?2??所以在???????,??内存在唯一的x0??,??，使得f??x0??0． ?2??2?当x变化时，f??x?，f?x?的变化如下表

x ???,x0? ?2??? ↗ x0 ?x0,?? - f??x? f?x?

0 ↘ 所以f?x?在?1,x0?内单调递增，在?x0,??内单调递减，此时f?x?有唯一极大值．

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综上所述，f?x?在?1,??内的极大值的个数为1． （2） 由题可知f??x??sinx?a????cosxlnx，其中x??,??． x?2????,??内单调递减； ?2?当a??1时，f??x??0，故f?x?在?下面设a??1． 对于?x?????,??，lnx?ln??lne2?2，且cosx?0， ?2?所以cosxlnx?2cosx．

sinx?asinx?a?2xcosx???x??2cosx?所以当． ?,??时，f??x??xx?2?设h?x??sinx?2xcosx?a，x?????,??， 2??则h??x??cosx?2cosx?2xsinx?3cosx?2xsinx?0． 所以h?x?在????,??上单调递减． 2?????h???1?a?0， h?????2??a． ?2?当?2??a?0时，即a?2?时，h????0，对?x?????,??，h?x??0， 2??所以f??x??0，f?x?在????,??内单调递增，不符合题意． 2?????h当?2??a?0时，即?1?a?2?时，???0，h????0， ?2?所以?x1?????,??，使h?x1??0， 2?????,??内单调递减， ?2?因为h?x?在?所以对?x?????,x1?，h?x??0，所以f??x??0． ?2?第 20 页 共 22 页