到100分？请说明理由．
【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；
?1?（3）该选手获得100分的概率是??，结合此数据作出合理的解释.
?4?【详解】
（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组0,20的人数有0.0050?20?20?2（人），
得分落在组?20,40的人数有0.0075?20?20?3（人）．
所以所抽取的20人中得分落在组0,20的人数有2人，得分落在组?20,40的人数有
20??????3人．
（2）X的所有可能取值为0，1，2．
31221C3C2C3C2C3316P?X?0??3?， P?X?1???PX?2??． ，??33C510C510C510所以X的分布列为
X P
0 1 6 102 3 101 10所以X的期望EX?0?（3）答案不唯一．
163?1??2??1.2． 101010答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：
?1? 该选手获得100分的概率是??，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．?4?答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：
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?1?该选手获得100分的概率是??，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该?4?选手不会得到100分． 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.
19．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，?ABC?20?3，
PA?平面ABCD，PA?3，PF?2FA，E为CD的中点．
（1）求证：BD?PC；
（2）求异面直线AB与DF所成角的余弦值；
（3）判断直线EF与平面PBC的位置关系，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）5；（3）相交，理由见解析． 5【解析】（1）根据题意先证明BD?平面PAC，即可得到答案；
（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O?xyz，求出AB、DF的坐标，利用公式即可得到结果；
uuuvuuuvr（3）求出平面PBC的一个法向量与向量EF，根据EF?n与零的关系，作出判断.
【详解】 （1）连结AC．
因为底面ABCD是菱形 ，所以BD?AC. 又因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PA?BD. 又因为PA?AC?A， 所以BD?平面PAC.
uuuvuuuv第 14 页 共 22 页
又因为PC?平面PAC， 所以BD?PC. （2）设AC，BD交于点O. 因为底面ABCD是菱形 ， 所以AC?BD，
又因为PA?平面ABCD， 所以PA?AC，PA?BD.
如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O?xyz，
则A?0,?1,0?，B??31??3,0,0，C?0,1,0?，D?3,0,0， E??2,2,0??，?????P?0,?1,3? ，F?0,?1,1?.
uuuv则AB??uuuv3,1,0，DF???3,?1,1，
???设异面直线AB与DF所成角为?，则???0,??2??，
uuuuvuuuuvuuuvuuuv|AB?DF|5cos??cos?AB,DF??uuuvuuuv?，
5AB?DF所以AB与DF所成角的余弦值为
5. 5（3）直线EF与平面PBC相交.证明如下：
uuuv?33?uuuvuuuv由（2）可知，EF???2,?2,1??，BC??3,1,0，BP??3,?1,3，
??????设平面PBC的一个法向量为n??x,y,z?，
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ruuuv?n?BC?0,v 即 则?uuu?n?BP?0,?r??3x?y?0,n令x?3，得?????3x?y?3z?0,?3,3,2．
?uuuvr?33?则EF?n???2,?2,1??????3,3,2?0，
?所以直线EF与平面PBC相交． 【点睛】
本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
3x2y220．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点P(?1,)，且椭圆C的一个顶点D的坐
2ab标为(?2,0)．过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B不同于点D），直线DA与直线m：x?4交于点M．连接MF，过点F作MF的垂线与直线m交于点N．
（1）求椭圆C的方程，并求点F的坐标； （2）求证：D，B，N三点共线．
x2y2【答案】（1）（2）证明见解析. ??1，(1,0)；
43?a?2,?【解析】（1）根据题意列方程组?1，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点9??1??a24b2坐标；
（2）讨论直线l的斜率，利用DB，DN是平行的证明D，B，N三点共线． 【详解】
（1） 因为点P??1,uuuvuuuv??3??在椭圆C上，且椭圆C的一个顶点D的坐标为??2,0?， 2??a?2,??a?2,? 所以?1解得?9??1.b?3.????a24b2x2y2所以椭圆C的方程为??1．
43所以椭圆C的右焦点F的坐标为?1,0?．
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