“知一求二”问题

(1)[一题多解]已知cos α＝k，

?π?

?k∈R，α∈??2，π?，则sin(π＋α)＝( )

A．－1－k2 C．±1－k2

B.1－k2 D．－k

3?π?

(2)(2019·福州模拟)若α∈?2，π?，sin(π－α)＝5，则tan α＝( )

??4

A．－3 3C．－4

4B.3 3D.4

?π?

(1)A (2)C [(1)法一：(直接法)由cos α＝k，α∈?2，π?得sin α＝1－k2，

??

所以sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k2.故选A.

法二：(排除法)易知k＜0，从而sin(π＋α)＝－sin α＜0，排除选项BCD，故选A.

343?π?

(2)因为α∈?2，π?，sin α＝5，所以cos α＝－5，所以tan α＝－4.]

??

利用同角三角函数的基本关系

求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sin α或cos α时，符号的选取．

弦切互化

(1)(2019·郑州模拟)已知

sin α＋3cos α1

2

3cos α－sin α＝5，则cosα＋2sin 2α的值是( )

3A.5 C．－3

3B．－5 D．3

(2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝ .

sin α＋3cos αtan α＋34

(1)A (2)－ [(1)由＝5得＝5，可得tan α＝2，则cos2α

33cos α－sin α3－tan α

2

cosα＋sin αcos α1＋tan α31

＋2sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A.

cos2α＋sin2α1＋tan2α5

(2)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ4

为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－3.]

若已知正切值，求一个关于正弦

和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．

sin α±cos α与sin αcos α关系的

应用