2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件: 专题突破练4 立体几何中的高考热点问题 下载本文

则DO⊥AC,DO=AO.

又因为△ABC是正三角形,故BO⊥AC, 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在Rt△AOB中,BO+AO=AB,

又AB=BD,所以BO+DO=BO+AO=AB=BD, 故∠DOB=90°. 所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,

→→

以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,|OA|为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).

1

由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

D到平面ABC的距离的,

即E为DB的中点,得E?0,

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??31?,?, 22?

→→→?31?故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=?-1,,?.

22??设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量, →??n·AD=0,

则?

→??n·AE=0,可取n=?1,

-x+z=0,??

即?31

-x+y+z=0,?22?

?

?3?,1?. 3?

→??m·AC=0,

设m是平面AEC的法向量,则?

→??m·AE=0,同理可取m=(0,-1,3), 则cos〈n,m〉=

n·m7

=. |n||m|7

7. 7

所以二面角D-AE-C的余弦值为