材料力学应力应变部分 下载本文

→工字梁翼缘的全部面积都在离中性轴最远处,每一点的正应力都比较大,所以翼缘承担了截面上的大部分弯矩。

£→

细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。

满足弯曲正应力条件的梁,一般都能满足切应力的强度条件。只有在下述一些情况下,要进行梁的弯曲切应力强度校核:

1)梁的跨度较短,或在支座附近作用较大的载荷,以致梁的弯矩较小,而剪力颇大。 2)铆接或焊接的工字梁,如腹板较薄而截面高度颇大,以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值,这时,对腹板应进行切应力校核。

3)经焊接、铆接或胶合而成的梁,对焊缝、铆钉或胶合面等,一般要进行剪切计算。 →关于弯曲理论的基本假设:

①平面假设 ②纵向纤维间无正应力 ③材料是线弹性的

5.6 提高弯曲强度

一、合理安排梁的受力情况 ① 合力布置梁的制作,

支撑点略向中间移动,都可以取得降低Mmax的效果。

② 合理布置载荷,也可以收到降低最大弯矩的结果。

在情况允许时,应尽可能把较大的集中力分散成较小的力,或者改变成分布载荷。 二、梁的合理截面

梁竖放比横放有较高的抗弯强度。

截面形状不同,其抗弯截面系数WZ也就不同,可以用比值AZ来衡量截面形状的合理性和经济性。比值

WZA

W

较大,则截面的形状就较为经济合理。

工字钢、槽钢比矩形截面经济合理,矩形截面比圆形截面经济合理。 →考虑到材料的特性

对抗压和抗拉强度相等的材料(如碳钢),宜采用中性轴对称的截面,如圆形、矩形、工字形等。对抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁),宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状。 如:

三、等强度梁的概念

在弯矩较大处采用较大截面,而在弯矩较小处采用较小截面,变截面梁。

在变截面梁各横截面上的最大正应力都相等,且都等于许用应力,就是等强度梁。

第六章 弯曲变形 6.2 挠曲线的微分方程

→在对称弯曲的情况下,变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线,称为挠曲线。 挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标用w表示,它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移,称为挠度。 W=f (x)

→弯曲变形中,梁的横截面对其原来位置转过的角度θ,称为截面转角。 tan?=

dw

,θ=arctan?(dx) dx

MEI

dw

挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量。(向上的挠度和反时针的转角为正。) →纯弯曲情况下,弯矩与曲率间的关系为=→

dθds

= ,

EI

M

d2ωdx2= 这是挠曲线的近似微分方程。

EI

M

6.3 用积分法求弯曲变形 θ=

dωdx

= EIdx+C

M

M

ω= EIdx dx+Cx+D

在挠曲线的某些点上,挠度或转角有时是已知的。

例如,在固定端,挠度和转角都等于零;在铰支座上,挠度等于零。 弯曲变形的对称点上,转角应等于零。 →挠曲线应该是一条连续光滑的曲线,

在挠曲线的任意点上,有唯一确定的挠度和转角。 →挠度为最大值的截面总是靠近跨度中点,所以可以用跨度中点的挠度近似地代替最大挠度。 只要挠曲线上无拐点,总可用跨度中点的挠度代替最大挠度。 积分法的优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。

6.4 用叠加法求弯曲变形

→当梁上同时作用几个载荷时,可分别求出每一载荷单独引起的变形,把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时的变形。即弯曲变形的叠加法。 P188 表6.1 梁在简单载荷作用下的变形

梁简图,挠曲线方程,端截面转角,最大挠度。

6.6 提高弯曲刚度的一些措施

一、改善结构形式,减小弯矩的数值。 二、选择合理的截面形状。

第七章 应力和应变分析,强度理论 →围绕一点A取出的单元体,一般在三个方向的尺寸均为无穷小。以致可以认为它的每个面

上,应力都是均匀的;且在单元体内互相平行的截面上,应力都是相同的,同等于过A点的平行面上的应力。这样的单元体的应力状态可以代表一点的应力状态。研究通过一点的不同截面上的应力变化情况就是应力分析的内容。

主平面,主应力,单向应力状态;二向或平面应力状态;三向或空间应力状态。

7.2 二向和三向应力状态的实例

→二向应力状态:锅铲或其它圆形容器的应力状态。

三向应力状态:滚珠轴承中,滚珠与外圈接触点的应力状态;轮与钢轨的接触处。 →容器的对称性,包含直径的任意截面上皆无切应力。

7.3 二向应力状态分析—解析法 →二向应力状态下,已知通过一点的某些截面上的应力后,如何确定通过这一点的其它截面上的应力,从而确定主应力和主平面。

→切应力τxy有两个角标,第一个角标x表示切应力作用平面的法线方向;第二角标y则表示切应力的方向平行于y轴。 关于应力的符号呢规定为:正应力以拉应力为正而压应力为负;切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时,规定为正,反之为负。

→斜截面上的正应力?α和切应力τα随α角的改变而变化,即和都是α的函数。 ?α=τλ=

?x+?y

2?x??y

2

+

?x??y

2

cos2α?τxysin2α

sin2α+τxycos2α

2τxy?x??y

tan2α0=?

在切应力等于零的平面上,正应力为最大值或最小值; 主应力就是最大或最小的正应力。

?max/?min=

?x+?y2

± (

?x??y2

?x??y22

)+τ2xy

2

τmax/τmin=± (

)+τ2xy

最大和最小切应力所在的平面与主平面夹角为45°。

→主应力迹线,曲线上任一点的切线即代表该点主应力的方向。 7.4 二向应力状态分析—图解法 →应力圆

7.5 三向应力状态

7.11 四种常用强度理论

→强度失效的主要形式有屈服与断裂两种,相应的强度理论也分成两类:

一类是解释断裂失效(脆性破坏)的,有最大拉应力理论和畸变能密度理论; 另一类是解释屈服失效(塑性)的,有最大切应力理论和畸变能密度理论。 1.最大拉应力理论(第一强度理论)

认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。 认为不论什么应力状态,只要最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值,则材料就发生

断裂。 单向应力状态。

只能计算拉应力,压应力不能计算。

铸铁等脆性材料的拉伸,脆性材料的扭转。 2.最大伸长线应变理论(第二强度理论)

认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。 单向拉伸。

石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时。

3.最大切应力理论(第三强度理论)

认为最大切应力是引起塑性屈服的主要因素。 横截面上,正应力?s,最大切应力τmax。

单向拉伸下,当与轴线成45°的斜截面上的τmax=

?s2

?s2

时,出线屈服。

?s2

就是导致屈服的最大切应力的极限值。任意状态下,只要τmax达到,就引起材料的屈

?1??32

服。 τmax=

?1??32

=

?s2

?1??3=?s

得到第三强度理论建立的强度条件 ?1??3≤[?]

最大切应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象。 4.畸变能密度理论(第四强度理论) (形状改变比能理论)

认为畸变能密度是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态,只要畸变能密度νd达到与材料性质有关的某一极限值,材料就发生屈服。 按第四强度理论得到的强度条件是:

[ ?1??2 2+ ?2??3 2+ ?3??1 2]≤[?] (考虑了三个主应力的影响)

21

→四种强度理论的应用

铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料,常以断裂的形式失效,宜用第一和第二强度理论。 碳钢、铜、铝等塑性材料,通常以屈服的形式失效,宜用第三和第四强度理论。

? 同一材料在不同应力状态下也可能有不同的失效形式,如碳钢在不同单向拉伸下以屈服

的形式失效,但碳钢制成的螺钉受拉时,螺纹根部因应力集中引起三向拉伸,就会出现断裂。

? 无论是塑性或脆性材料,在三向拉应力相近的情况下,都将以断裂的形式失效,宜采用

最大拉应力理论;在三向压应力相近的情况下,都引起塑性变形,宜采用第三或第四强度理论。

第八章 组合变形6*20 8*25 10*28 12*30 8.1 组合变形和叠加原理

叠加原理,分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、应变和位移,然后将所得结果叠加,便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移。 分析组合变形时,可先将外力进行简化或分解,把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷,其中每一组载荷对应着一种基本变形。

→①分组简化,使在每组载荷下只产生一种变形; ②分别计算应力变形; ③叠加;

④寻找危险点进行强度校核。 找危险截面(内力同时达到最大),画内力图找危险截面。

→一个杆弯扭组合变形,弯曲变形中剪力不考虑。

对圆截面杆,两个垂直作用的弯矩,可以用合弯矩代替两个弯矩。因为合成后仍发生平面弯曲。

→F1和F2共同作用下的位移,等于F1和F2分别单独作用时位移的叠加。

→叠加原理的成立,要求位移、应力、应变和内力等与外力成线性关系。当不能保障上述线性关系时,叠加原理不能使用。

?某些情况下,必须借助应力-应变关系,才得出应力、内力和变形等与外力间的关系。如

材料不服从胡克定律,就无法保证上述线性关系,破坏了叠加原理的前提。还有一些另外的情况下,由于不能使用原始尺寸原理,需用构件变形以后的位置进行计算,也会造成外力与内力、变形间的非线性关系。

如图8.2所示的纵横弯曲问题,由于需用变形后的位置计算,轴向力F除压缩外,还将产生弯矩Fω挠度ω受q和F的共同影响,即使杆件仍然是线弹性的,弯矩、挠度与F的关系却都不是线性的叠加原理便不能使用。

8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 拉伸/压缩→应力

最大应力点

弯曲→最大拉、压应力点

8.4 扭转与弯曲的组合 危险截面,内力矩

→对截面为圆形的轴,包含轴线的任意纵向面都是纵向对称面。

xy平面内弯矩Mymax,xy平面内的弯矩Mzmax。

把Mymax和Mzmax合成后,合成弯矩M的作用平面仍然是纵向对称面,仍可按对称弯曲的公式算。

用矢量合成的方法,求出把Mymax和Mzmax的合成弯矩为M= Mymax+Mzmax

合成弯矩M的作用平面垂直于矢量M。

→合成弯矩M,扭矩T。

用第四强度理论校核强度,W M2+0.75T2≤[?] →对于塑性材料,宜第三强度理论或第四强度理论 按第三强度理论,?1??3≤[?] ?2+4τ2≤[?] →得圆轴在扭转与弯曲组合变形下的强度条件为W M2+T2≤ ? 按第四强度理论,W M2+0.75T2≤ ? 。

1

1

1