以上为以平面假设为基础导出的公式，只适用于等直圆杆；也可适用于圆截面沿轴线变化缓慢的的小锥度锥形杆。

→Wt

①实心圆轴，Wt =②空心圆轴，Wt =强度条件 τmax=

πD316

16

dD

πD3

（1?α4） α= TmaxWt

≤[τ]

3.5 圆轴扭转时的变形与刚度计算

→扭转变形的的标志的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。

dφ=

TGIP

dx

dφ 表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角。

沿轴线x积分，即可求得距离为l的两个横截面之间的相对转角为 φ= dφ= 0GIdx lP(若在两截面之间T的值不变，且轴为直杆，则

TGIP

lT

为常量。)

（GIP 称为圆轴的抗扭刚度）

例如只在等直圆轴的两端作用扭转力偶时，φ=用φ‘表示变化率

dφdx

TlGIP

φ‘=

dφdx

=GI P

T

φ 的变化率φ‘是相距为1单位长度的两截面的相对转角，称为单位长度扭转角，单位rad/m。 扭转的刚度条件就是限定φ‘的最大值不得超过规定的允许值，即φmax=工程中，习惯把(°)/m作为[φ‘]的单位吗，φ’max=

TmaxGIP

TmaxGIP

≤[φ‘] 。

×

180°π

≤[φ‘] (°)/m 。

3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 →螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形的精确分析比较复杂。但当螺旋角α很小时，可以省略α的影响，近似的认为，簧丝横截面与与弹簧轴线（亦即F力）在同一平面内。一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。此外，当簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，还可以略去簧丝曲率的影响，近似的用直杆公式计算。 ……

3.7 非圆截面杆扭转的概念

→杆变形后杆的横截面已不再保持为平面（变成空间平面），这种现象称之为翘曲。 故平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。

→非圆截面杆件的扭转可以分为自由扭转和约束扭转。

等直杆两端受到扭转力偶的作用，且翘曲不受任何限制的情况，属于自由扭转。

在自由扭转下，杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，横截面上没有正应力而只有切应力。

约束扭转，由于约束条件或受力限制，造成杆件各截面翘曲程度不同，相邻截面间纵向纤维长度改变，于是横截面上除切应力外还有正应力。

工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的正应力往往很大；但一些实体杆件，如截面为矩形或椭圆杆件，因约束扭转而引起的正应力很小，与自由扭转并无太大差别。

→任何情况下，杆件扭转时，横截面上边缘个点的切应力都与横截面边界相切，又切应力互等定理，→截面凸角处的切应力应为零。

→横截面上的切应力分布：

①边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流。 ②四个角点上切应力等于零。

③最大切应力发生于矩形长边的中点，且τmax=

Tahb2；

α是一个与比值h/b有关的系数，查表。

④短边中点的切应力τ1是短边上最大切应力，τ1=ν τmax，ν与h/b有关，查表。 ⑤杆件两端相对扭转角φ的公式φ=

TlGβhb3=GI

t

Tl

→在狭长的矩形截面上，虽然最大切应力在长边的中点，但沿长边各点的切应力实际上变化不大，接近相等，在靠近短边处才迅速减小到零。

第四章 弯曲应力

→作用于这些杆件的外力垂直于杆件的轴线，使原为直线变形后成为曲线。变形形式成为弯曲变形。 以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。 →

平面弯曲

梁的横截面具有对称轴，横截面的对称轴和梁的轴线形成面（纵向对称面），梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，载荷作用在同一平面并使梁的轴线在平面内弯曲时称为平面弯曲。（并不是梁要发生平面弯曲，就一定要有对称轴。）

4.2 受弯杆件的简化 一、支座的几种形式

简支

静定 外伸

悬臂

铰支座；固定铰支座，滑动铰支座。

4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图

→在集中力作用截面的两侧，剪力有一突然变化，变化的数值就等于集中力。

在集中力偶作用的截面的两侧，弯矩就有一突然变化，变化的数值就等于集中力偶矩。 →刚节点

节点连接的两个部分在其连接处夹角不变，即两部分在连接处夹角不变，即两部分在连接处不能有相对转动，称为刚节点。

各部分由刚节点连接而成的框架结构称为刚架。

（刚架任意横截面上的内力，一般有剪力、弯矩和轴力） 内力可由静力平衡方程确定的刚架称为静定刚架。

4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 →直梁微段的平衡方程

dFS（x）

dx

=q x ，

=

dM（x）dxdx

=FS x

即，

d2M（x）dx2dFS（x）dM x dx

=q（x）

dFS x dx

=q x ，

=FS x

→对应于剪力图和弯矩图

①无载荷作用，即q（x）=0吗，剪力图是平行于x轴的直线，弯矩图是斜直线。

②若分布载荷q（x）向下，弯矩图应为向上凸的曲线；分布载荷q（x）向上，弯矩图应为向下凸的曲线。

③弯矩的极值发生于剪力为零的截面上。

第五章 弯曲应力 5.1 纯弯曲

→弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；剪力是切于横截面的内力系的合力。故，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力FS与切应力τ有关。 →纯弯曲，只有正应力，但是没有切应力。 →弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的轴曲线。

→中性层，中性轴，纵向对称面。 →对纯弯曲变形提出两个假设：（1）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力。

5.2 纯弯曲时的正应力

→几何关系，纤维bb的应变 ε= （γ为到中性轴距离，ρ为中性轴的曲率半径）

ργ

→物理关系

纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。 当应力小于比例极限时，由胡克定律σ=Eε。

即?=E 任意纵向纤维的正应力与改点到中性轴的距离成正比。

ργ

→静力关系

y2dA=IZ 横截面对Z轴（中性轴）的惯性矩

1ρ

=

MEIZ

（曲率） EIZ称为梁的抗弯刚度。

ρ

MyIZ

1

→?= (纯弯曲时正应力的计算公式)

5.3 横力弯曲时的正应力、

→常见的弯曲问题多为横力弯曲，这时梁的横截面上不但有正应力，还有切应力。

→由于切应力的存在，横截面不能再保持为平面。同时，横力弯曲下往往也不能保证纵向纤维间没有正应力。

→横力弯曲时，最大正应力?max发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。

?max=

Mmax?ymax

IZ

（σ与截面，与点的位置有关）

→正应力不仅与M有关，而且与有关，亦即与截面的形状和尺寸有关。故对截面为某些形IZ

Y

状的梁或变截面进行强度校核时，不应只注意弯矩为最大值的截面。

WZ=y

IZ

max

,则?max=

MmaxW

（W为抗弯截面系数，单位m3）

b?h26π?d332

① 若截面为高h宽b的矩形，W=② 若截面为直径为d的圆形，W=

5.4 弯曲切应力

横力弯曲的梁横截面上既有弯矩又有剪力，所以横截面上既有正应力又有切应力。 一、矩形截面梁

→关于横截面上切应力的分布规律，以下做两点假设： （1）横截面上各点的切应力方向都平行于剪力FS； （2）切应力沿截面宽度均匀分布。 →横截面的横线pq上的切应力τ，即 τ=

FS?S?ZIZ?b

式中，FS为横截面上的剪力，b为截面宽度，IZ为整个截面对中性轴的惯性矩。

?SZ 为截面上距中性轴为y的横线以下部分面积对中性轴的静矩。

?SZ

= A1y1dA= yby1dy1=2（

FS

h24

Z

h2b

h24

?y2）

?τ=2I（

?y2）

FSh28IZ

→最大切应力发生于中性轴上，τmax=以IZ=

b?h312

S

，代入得τmax=2?bh 3F

即最大切应力为平均切应力

FSbh

的1.5倍。

二、工字形截面梁

→工字形截面梁腹板上的切应力。

腹板截面是一个狭长矩形，关于矩形截面上切应力分布的两个假设仍适用。

τ=

FS?S?ZIZ?bFS

Z

b

2

τ=I

[ h??b8

FS

Zb0

h20

+

b0h20

24

?y2 ]

→腹板上的最大和最小切应力分别是：

τmax=Iτmin=I

[[

bh288

?(b-b0)8] ?

bh208

h20

FS

Zb0

bh2

]

FSb0h0

→腹板几乎几乎负担了截面上的全部剪力；认为近似分布。

近似得出腹板内的切应力 τ=