2018中考数学压轴专题一、动点与面积问题

例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；

（2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．

例2如图，已知抛物线y?12x2?bx?c（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）； （2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

例3如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B(2,?433)，M是OA的中点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；

（3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

例4如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y?mx(x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p,p?1)(p＞1)作x轴的平

行线分别交曲线y?mx(x＞0)和y??mx(x＜0)于M、N

两点．

（1）求m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

例5 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； ②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1 备用图

跟踪练习

1.在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝

1x相交于点A、B，且AC＋BC＝4，则△OAB的面积为（ ）

A．23＋3或23－3 B．2＋1或2－1

C．23－3

D．2－1

2.如图，在菱形??CD中，???60o，?D?8，F是??的中点．过点F作

F???D，垂足为?．将???F沿点?到点?的方向平移，得到?????F?．设

?、??分别是?F、??F?的中点，当点??与点?重合时，四边形???CD的面积为 A．283 B．243 C.323 D．323?8

3. （2017青海西宁第10题）如图，在正方形ABCD中，AB?3cm，动点M自

A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC?CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时

停止，设?AMN的面积为y?cm2?，运动时间为x（秒）

，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）

A． B． C. D．

4.已知直线y?2x?m与抛物线y?ax2?ax?b有一个公共点M(1,0)，且

a?b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若?1?a??12，求线段MN长度的取值范围； （ⅱ）求?QMN面积的最小值．

5.已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥BD？

（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm2

），求 y 与 t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使S五边形AFPQM:S矩形ABCD?9:8？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点M在PG的垂直平分线上？若存

在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

6.如图，已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象经过

A(?1,0),B(4,0),C(0,2)三点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足?DBA??CAO(O是坐标原

点)，求点D的坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC,y轴与点E,F,若?PEB,?CEF的面积分别为S1,S2,求S1?S2的最大值.

7.如图，二次函数y?x2?bx?c的图像与x轴交于?、?两点，与y轴交于点

C，????C．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD?2，直线l是抛物线

的对称轴，?是抛物线的顶点． （1）求b、c的值；

（2）如图①，连接??，线段?C上的点F关于直线l的对称点F?恰好在线段??上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点?在线段??上，过点?作x轴的垂线分别与?C交于点?，与抛物线交于点?．试问：抛物线上是否存在点Q，使得??Q?与????的面积相等，且线段?Q的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

8.如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为

O(0,0),A(3,33),B(9,53),C(14,0)，动点P与Q同时从O点出发，运动时间

为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线

OA-AB-BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3，3，52（单位长度

/秒）.当P，Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动.

（1）求AB所在直线的函数表达式；

（2）如图2，当点Q在AB上运动时，求?CPQ的面积S关于t的函数表达式及

S的最大值；

（3）在P，Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.

9.在平面直角坐标系xoy中，规定：抛物线y?a?x?h?2?k的伴随直线为

y?a?x?h??k.例如：抛物线y?2?x?1?2?3的伴随直线为y?2?x?1??3，即y?2x?1.

（1）在上面规定下，抛物线y??x?1?2?4的顶点为 .伴随直线为 ；抛物线y??x?1?2?4与其伴随直线的交点坐标为 和 ；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y?m?x?1?2?4m与其伴随直线相交于点

A,B (点A在点B 的右侧)与x 轴交于点C,D.

①若?CAB?90?, 求m的值；

②如果点P?x,y?是直线BC上方抛物线的一个动点，?PBC的面积记为S，当

S 取得最大值

27 时，求m4的值.

10. （2017内蒙古呼和浩特第25题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y?ax2?bx?c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x??1和x?5对应

的函数值相等．若点M在直线l：y??12x?16上，点(3,?4)在抛物线上．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设y?ax2?bx?c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A(?72,0)，试比较锐角?PCO与?ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围；

（3）直线l与抛物线另一点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合）．设Q点坐标为(t,n)，过Q作QH?x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．