式，但反之则不然，即不能用下面的公式蕴涵上面的公式。

（二）用自然推理的方法证明下述推理的有效性。 1．①(A∧B)→(A→D∧E)，②(A∧B∧C)。所以，D∨E。

证明：⑴ (A∧B)→(A→D∧E) 已知

⑵ A∧B∧C 已知 ⑶ A∧B ⑵，联言推理的分解式 ⑷ A ⑶，联言推理的分解式 ⑸ A→D∧E ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D∧E ⑷、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ D ⑹，联言推理的分解式 ⑻ D∨E ⑺，析取附加式

2．①E→F∧﹁G，②F∨G→H，③E。所以，H。

证明：⑴ E→F∧﹁G 已知

⑵ F∨G→H 已知 ⑶ E 已知 ⑷ F∧﹁G ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑸ F ⑷，联言推理的分解式 ⑹ F∨G ⑸，析取附加律 ⑺ H ⑵，⑹，充分条件推理的肯定前件式

3．①M→N，②N→O，③ (M→O)→(N→P)，④(M→P)→Q。所以，Q。

证明：⑴ M→N 已知

⑵ N→O 已知 ⑶ (M→O)→(N→P) 已知 ⑷ (M→P)→Q 已知 ⑸ M→O ⑴、⑵，条件三段论 ⑹ N→P ⑶、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ M→P ⑴、⑹，条件三段论 ⑻ Q ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式

4．①A→B，②B→C，③ C→D，④(A→D)→(B→A)，⑤﹁A。所以，﹁B。

证明：⑴ A→B 已知

⑵ B→C 已知 ⑶ C→D 已知 ⑷ (A→D)→(B→A) 已知 ⑸ ﹁A 已知 ⑹ A→C ⑴、⑵，条件三段论 ⑺ A→D ⑶、⑹，条件三段论 ⑻ B→A ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ ﹁B ⑸、⑻，充分条件推理的否定后件式

5．A∨B→(C∨D→E)。所以，A→(C∧D→E)。

证明：⑴ A∨B→(C∨D→E) 已知

⑵ A 假设 ⑶ C∧D 假设 ⑷ A∨B ⑵，析取附加律 ⑸ C∨D→E ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式

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⑹ C ⑶，联言推理的分解式 ⑺ C∨D ⑹，析取附加律 ⑻ E ⑸、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ C∧D→E ⑶、⑻，→引入 ⑽ A→(C∧D→E) ⑵、⑼，→引入

6．①A∨B→C∧D，②D∨E→F。所以，A→F。

证明：⑴ A∨B→C∧D 已知

⑵ D∨E→F 已知 ⑶ A 假设 ⑷ A∨B ⑶，析取附加律 ⑸ C∧D ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D ⑶，联言推理的分解式 ⑺ D∨E ⑹，析取附加律 ⑻ F ⑵、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ A→F ⑶、⑻，→引入

7．①A∧B→C，②(A→C)→D，③﹁B∨E。所以，B→D∧E

证明：⑴ A∧B→C 已知

⑵ (A→C)→D 已知 ⑶ ﹁B∨E 已知 ⑷ B 假设 ⑸ E ⑶、⑷，选言推理的否定肯定式 ⑹ ﹁(A∧B)∨C ⑴，等值命题 ⑺ ﹁A∨﹁B∨C ⑹，德摩根定律 ⑻ (﹁A∨C)→D ⑵，等值命题 ⑼ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑻，条件附加律 ⑽ D ⑺、⑼，充分条件推理的肯定前件式 ⑾ D∧E ⑸、⑽，联言推理的组合式 ⑿ B→D∧E ⑷、⑾，→引入

8．①A∨(B∧C)，②(A→D)∧(D→C)。所以，C。

证明：⑴ A∨(B∧C) 已知

⑵ (A→D)∧(D→C) 已知 ⑶ A→C ⑵，条件三段论 ⑷ A∨(B∧C)→C ⑶，条件附加律 ⑸ C ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式

第七章 谓词逻辑初步

一、填空题

1．关系词项“包庇”在直接关系推理中表现为（非对称）性，在间接关系推理中表现为（非

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传递）性。

2．如果关系R是反传递性的，则由aRb和bRc为前提，可推出（﹁(aRc)）。

3．在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中，属于传递性关系的是（真包含关系），属于反对称性关系的是（真包含关系）。

4．在概念外延间的全同、真包含于、交叉、矛盾关系中，属于反对称关系的是（真包含于关系），属于反传递关系的是（真包含于关系、矛盾关系）。 5．已知关系R是反对称的、传递的，由aRb真可得知（bRa假）；由aRb真且bRc真可得知（aRc真）。

二、单项选择题 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．C 7．A

解析：由题意可知，甲+乙=丙+丁，甲+丁＞乙+丙，甲+丙＜乙。经过运算可得，丁＞

乙＞甲＞丙。

8．C

三、双项选择题 1．“人事变动不等于政策变动，所以政策变动不等于人事变动。”该推理是（ BE ）

A．有效的反对称性关系推理 B．有效的对称性关系推理 C．无效的反对称关系推理 D．无效的对称性关系推理 E．有效的纯关系推理 2．“甲了解乙，乙了解丙，所以甲了解丙。”这个推理是（ CE ）

A．有效的传统关系推理 B．有效的反传统关系推理 C．误把非传统关系当作传递关系 D．无效的反传统关系推理 E．无效的纯关系推理

3．下列既是反对称性又是传递性的关系是（ CD ）

A．援助 B．矛盾 C．在??左边 D．真包含于 E．交叉 4．“柏拉图和亚里士多德是古希腊哲学家”这个命题是（ CE ）

A．关系命题 B．直言命题 C．复合命题 D．全称命题 E．联言命题

注意，直言命题通常被分析到词项，因此直言命题通常是指简单命题。 5．在概念外延间的关系中，不具有传递性的是（ CD ）

A．同一关系 B．真包含关系 C．交叉关系 D．全异关系 E．真包含于关系

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四、应用分析题

（一）指出下列语词或语句中哪些是个体词、谓词、量词和命题？ 1．数8。

答：“8”是个体词，“数”是谓词。 2．x是深红色的。

答：x是个体词，“是深红色的”是谓词。 注意，（1）这里的x其实是个体变项。下同。

（2）命题都有真假，而“x是深红色的”没有真假，因为这里的x实际上是一个

空位，即该语句其实是“（ ）是深红色的”，它是一个开语句，不能表达通常所谓的命题。下同。

3．x+y=z

答：x、y和z是个体词，+和=是谓词。 4．所有的x。

答：“所有”是量词，x是个体词。 5．将要出任校长的人。

答：“将要出任校长的人”是谓词。因为通常说，例如，“张三是将要出任校长的人”。 6．小黄不爱小李，但也不讨厌小李。

答：“小黄”和“小李”为个体词，“爱”和“讨厌”是谓词，“小黄不爱小李”、“（小黄）

不讨厌小李”和“小黄不爱小李，但也不讨厌小李”都是命题。

7．至少有数x。

答：x是个体词，“至少有”是量词，“数”是谓词。 8．几乎所有的人。

答：“几乎所有”是量词，“人”是个体词。 （二）把下列命题表达为谓词公式 1．有的粉笔是红色的。（F：是粉笔；G：是红色的）

解：?x(Fx∧Gx)

2．所有的学生都没有缺席。（F：是学生；G：缺席）

解：?x(Fx→﹁Gx)

3．有的学生既不是上海人也不是江西人。（F：是学生；G：是上海人；H：是江西人）

解：?x(Fx∧﹁Gx∧﹁Hx) 4．小陈不接受任何意见。（a：小陈；F：是意见；R(x, y)：x接受y）

解：?x(Fx→﹁R(a, x))

5．有的服务员认识每一位来自北京的客人。（F：是服务员；G：来自北京；H：是客人；R(x, y)：x认识y）

解：?x(Fx∧?y((Gy∧Hy)→R(x, y)) 6．并非所有的儿童都喜欢喝某种饮料。（F：是儿童；G：是饮料；R(x, y)：x喜欢y）

解：﹁?x(Fx→?y(Gy∧R(x, y))) 7．凡是小陈喜欢的书我都喜欢。（a：小陈；b：我；F：是书；R(x, y)：x喜欢y）

解：?x((Fx∧R(a, x))→R(b, x))

（三）指出下列公式中哪些是约束变项，哪些是自由变项，并指出量词的辖域。 1．?x(Px∧Qx)→?xPx∧Qx

解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧Qx)。第二个x也是约束变项，辖域为Px。第

三个x是自由变项。

2．?x(Px∧?xQx)∨?x(Rx→Qx)

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