图2-5 蔡氏二极管的伏安特性

它相当于两个非线性电阻RN1和RN2的并联。图2-6 给出RN1和RN2电路及其伏安特性。

(a) RN1电路 (b) RN2电路

(c) RN1伏安特性 (d)RN2伏安特性

图2-6 两个非线性电阻及其伏安特性

图2-6中v是两个非线性电阻两端电压，由于两电阻是并联，故电压是相等

的。i1和i2分别是流入RN1、RN2的电流。

E1??R1?R1??R4R2??Vsat

E2??R4Vsat?R5??Vsat

(2-8)

是运放得输出饱和电压，它与运放的工作电源有关。适当选取电阻参数

值， 使E2远大于E1，也远大于蔡氏电路工作时VC1的变化范围，则在电路的工作范围内，RN2是一个线性负电阻，RN1和RN2并联后可实现图2-5中非线性电阻的伏安特性，其中

?E?E1??R1?R1?R2??Vsat? (2-9) ?Ga??1R1?1R4?G?1R?1R34?b2.2.2电路中各元件参数标称值的确定

电路的混沌特性是由其元件参数值确定的，只有元件的参数值在可能的范围内系统才有可能出现混沌现象，文献[ 5 ]对此进行了有益的探讨，但只是给出了蔡氏混沌电路产生分岔时元件R，C1，C2，L与mi的关系式和画出了系统产生稳定周期解的参数区域，要确定元件值还是得靠假设，对硬件实现的参考作用不大。 现有的其他文献所给出的元件参数值，硬件实现时可行性都比较差，有些给出的元件参数值在现实中根本就找不到与之对应的标称值元件，经过分析发现其容差范围也较小，参数值稍有偏差系统就可能脱离混沌状态，这样就需要去分析并寻找出蔡氏电路出现混沌信号时元件的参数空间，以便确定出电路系统产生稳定混沌信号时各元件的参数标称值去指导硬件的实现。另外，蔡氏电路虽然简单，但是由于电路的混沌特性对元件参数的敏感性，现有文献只是单一地控制电阻器的阻值变化而其余元件的参数值固定不变来对电路进行研究，而对电路中各个元件参数都发生变化以及其各种变化的组合形式改变时电路系统的变化的研究鲜见报道，这显然与电路的实际工作环境相差甚远。文中针对这些情况，利用计算机仿真分析技术和理论分析，对蔡氏混沌电路处于实际工作环境时各元件参数值进行了容差分析，得到了一些重要的结论，为混沌振荡电路的硬件实现提供了有益的理论指导。

关于混沌电路元件参数的确定方法，在文献[6]中已论述了这方面的问题。他们通过仿真分析后认为混沌信号的频谱分量绝大多数都集中在直流分量到基波分量fH (Hopf分岔点附近周期或最不稳定周期轨道的频率)之。在文献[7]中导出了蔡氏电路极限环频率表达式：

fH??m1?1?m1?2? (2-10)

基于此式便可估计出各元件的参数值. 蔡氏电路系统式(2-1)中共有3个平衡点：

?P0:?u1,u2,iL???0,0,0?,u1?E??P0:?u1,u2,iL????Ga?Gb?E?Ga?Gb?,0,?G?Gb?Ga?E?G?Gb??,u1?E ?P:?u,u,i?????G?G?E?G?G?,0,?G?G?G?E?G?G??,u??E12Lbabbab1?0 (2-11)

由于蔡氏电路状态方程中参数达7个之多，为了分析的简便需将其简化为无量纲形式. 也就是前面列出的式(2-6)，现重写如下：

dxd????x?y?f?x??

dyd?dzd??x?y?z (2-12)

???y

式中：

f?x??m1x?12?m0?m1??x?1?x?1?

(2-13) (2-14)

m0?RGa，m1?RGb

电路中蔡氏二极管的分段线性转折点电压E及斜率Ga，Gb与元件参数的关系式现重写如下：

?E?E1??R1?R1?R2??Vsat? (2-15) ?Ga??1R1?1R4?G?1R?1R34?b式中Vsat为运放的输出饱和电压，它与运放的工作电压有关。元件参数值

R1?3.3k?，R2?R3?22k?，R4?2.2k?，R5?R6?220?；运放的工作电源

电压取12V。将以上值代入式(2-11)可计算出Ga??0.76ms，Gb??0.41ms，

E?1V。下面首先确定电阻R及电容C1的值，基于分析和综合现有的文献可以

得出R不宜取值太大但又要与实际元件的标称值相符，故其值宜取R= 1.6或1.8 kΩ (最佳为1.6 kΩ)；而C1 则不能取值太小且也要与实际元件标称值相符，故其值宜取C1 = 5.1 或10 nF。这里取R= 116 kΩ，可得m0= - 1.216，m1 = - 0.656，

若取R= 1.8 kΩ，则m0 = - 1.368，m1 = - 0.738[8]。

这样就确定了式(2-13)中参数m0，m1的值，将其固定不变，只需分析参数?，

?的变化对系统输出特性的影响， 简化了分析的难度. 用Matlab仿真并结合理

论分析画出了参数?—?平面中双涡卷混沌区域图(见图2-7)。从图中可以看出，参数?由大变小时系统状态由平衡点→周期→倍周期分岔→单涡卷混沌吸引子区进入双涡卷混沌吸引子区，最后至系统失稳区；而参数?则是由小变大时系统状态由平衡点→周期→倍周期分岔→单涡卷混沌吸引子区进入双涡卷混沌吸引子区，最后至系统失稳区。

图2-7 α-β平面上的蔡氏电路系统状态图

基于图2-7并利用式(2-4)和式(2-5)进行反变换可得到蔡氏电路出现双涡卷混沌吸引子时元件标称值有很多。根据图2-7和最小二乘法原理导出了双涡卷混沌区域中心曲线方程：

??0.027?2?1.737??4.11

(2-16)

只要参数?，?满足式(2-16) ，再经式(2-4)和式(2-5)反变换就可得到电路元件参数值，在该参数值下，系统都会出现双涡卷混沌吸引子。另外，由于式(2-16)所确定的?，?值代表了混沌区域中的各中心点，所以?，?值满足式(2-16)时，系统出现混沌动态变化范围为近似最大。因此，据此确定元件参数值时，电路中各元件参数值的容差范围将是近似最大，下一章的仿真实验也说明了这一点。