图5 周期性三角波的频谱
0、补充：画出
证是否满足信号的时移定理。
cos?tsin?0t复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双边相频谱，并验
1?j?0te?ej?0t2解： 111C?C?|C|?nnRn??02，2，CnI?0，2，?n?0 在处：
111C?C?|C|?nnRn?CnI?00222，?n?0 在处：，，，
cos?0t???12CnR012CnI???0012|Cn|12?n??0?0?0???00?0???00?0? (a) 实频图 (b) 虚频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相频
图
图6
j?j?0te?ej?0t2
j11?C?C?|C|???nnInn??02，CnR?0，2，2，2 在处：
j11?C??C??|C|????nnInn?CnR?002222 在处：，，，，
sin?0t???CnR12CnI?00??00?0???01?2?12|Cn|?12?n?00?2??0??00?0??2?
(a) 实频图 (b) 虚频图 (c) )双边幅频图 (d) 双边相频
图
图7
????sin?0t?cos(?0t?)?cos??0(t?)?22?0??在
t0?，则
?2?0
??0?(??0)t0??(??0)处：相移：
在
?0??0t0???0处：相移：
???2?02
???2?02 ????sin?0tcos?0t??0?0有图6和7比较可知，比在、处的相移为2和2，因此满
足信号的时移定理。
5
第三章部分题目答案
3-19 若压电式力传感器灵敏度为90 pC/MPa，电荷放大器的灵敏度为0.05V/pC，若压力变化25MPa，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50mm，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？
解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联
后的总灵敏度为：
S?S1?S2?S3??y?x，其中S1=90 pC/MPa，S2＝0.05V/pC ，?x=25MPa，
S3??y=50mm，则
?y50mm4mmmm???0.4444?x?S1?S225MPa?90pC/MPa?0.05V/pC9VV
3-20 图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。
图4.24 习题3-20图
66/23K3???1，所以其灵解：第一个框图为一阶系统，由于15s?215/2s?17.5s?1，而?s?17.5s?敏度为3;
第二个框图的灵敏度为7.3;
22K?n3.3?n?2222s?2??s??s?2??s??nnnn第三个框图为二阶系统，由于，所以其灵敏度为3.3；
系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。
100?n1.5H2(s)?2H1(s)?2s?1.4?s??3.5s?0.5nn3-21 由传递函数为和的两个环节，串联组成一个测
2试系统，问此系统的总灵敏度是多少？
解：显然，H1(s)和H2(s)和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式的形式，则
H1(s)?K1.53???s?13.5s?0.57s?1 K=3
K?n2100?n2100?n2H2(s)?2??s?2??ns??n2s2?1.4?ns??n2s2?2?0.7?ns??n2 K=100
而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.
3-22 用时间常数为2s的一阶装置测周期为2s、4s的正弦信号，试求周期为4s装置产生的幅
6
值误差和相位滞后量分别是2s装置的几倍？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s时，
A(?1)?11?(??1)2?11?(?2?2)T1?11?(2?2?2)2?0.1572
?(?1)??arctan(?正弦信号周期为4s时，
2?2?)??arctan(2?)??80.97oT12
A(?2)?11?(??2)2?11?(?2?2)T2?11?(2?2?2)4?0.3033
2?2?)??arctan(2?)??72.32oT24
?(?2)?72.32A(?2)??0.8936?2?(?2)?80.97A(?1)由于，，则周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后
?(?2)??arctan(?量分别是2s装置的2和0.8936倍。
3-23用时间常数为2s的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s作正弦规律变化，且温度在500～1000℃范围内变化，试求该装置所指示的最大值和最小值各是多少？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，输入信号的周期为160s，最大幅值1000，最小幅值500
，
则
该
装
置
所
指
示
的
最
大
值
为
：
1000?A(?1)?该
装
10001?(??1)2置
所
?10001000??996.932?22?21?(?)1?(2?)T160
指
示
的
最
小
值
为
：
500?A(?1)?5001?(??1)2?500500??498.4652?22?21?(?)1?(2?)T160
3-24 设用时间常数为0.2s的一阶装置测量正弦信号：x(t)=sin4t+0.4sin40t (K=1)，试求其输出信号。 解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.2，输入信号x(t)为正弦信号x1(t)=sin4t和x2(t)=0.4sin40t的叠加。
对x1(t)：角频率ω1=4，幅值A1=1，初相位φ1=0；则
11A(?1)???0.781?(??1)21?(0.2?4)2
?(?1)??arctan(??1)??arctan(0.2?4)??38.66o
其输出信号的幅值为： A(ω1)*A1=0.78*1=0.78 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-38.66o 其输出信号为：y1(t)=0.78sin(4t-38.66o) 对x2(t)：角频率ω2=40，幅值A2=0.4；则
11A(?2)???0.124221?(??2)1?(0.2?40)
?(?2)??arctan(??2)??arctan(0.2?40)??82.875o
7
其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.124*0.4=0.05 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-82.875o 其输出信号为：y2(t)=0.496sin(4t-82.875o)
所以，x(t)为输入信号时，输出信号为： y(t)= y1(t)+ y2(t)= 0.78sin(4t-38.66o)+0.05sin(4t-82.875o)
3-25 用一阶系统对100Hz正弦信号进行测量，如果要求振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？如用具有该时间常数的同一系统作50Hz正弦信号的测试，问此时的振幅误差和相位差是多少？
??1?A(?)?0.05?)≤0.051．解：(1) 因为，故当|?|≤5%时，即要求1?A(，所以1?1(??)?12≤0.05。化简得11?≤1.08??1.08??5.23?10?4s2?f2??100s（2分）
(??)2≤1?1?0.10820.95，则
(2) 当作50Hz信号测试时，有（4分）
111??1??1??1??1?0.9868?1.32"?42(??)?1(2?f?)?1(2??50?5.23?10)?1??arcta?n?(??)
arc?tfa?n?(2?)a?rc?t?an(?2?4?50o?2??10)5.?3?
91950A(?)?11?0.01?2，?(?)??arctan0.1?，现测得该系统稳态输出
3-26 已知某线性装置
y(t)=10sin(30t-45°)，试求系统的输入信号x(t)。
解：根据频率保持特性：输入信号的频率ω=30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为：
1A(?)??0.3162o2?(?)??arctan(0.1?30)??71.5651?0.01?30
则输入信号的幅值和相位分别为：
A=10/ A(ω)=10/0.3162=31.6256 φ1=φ2-φ(ω)=-45o+71.565o=26.5651o
则输入信号为：x(t)=31.6256sin(30t+26.5651o)
3-27 将温度计从20℃的空气中突然插入100℃的水中，若温度计的时间常数τ=2.5s，则2s后的温度计指示值是多少？
H(j?)?3-28 某测量装置的频率响应函数为
11?0.05j?，试问：1)该系统是什么系统? 2)
若输入周期信号x(t)?2cos10t?0.8cos(100t?30)，试求其稳态响应y(t)。
答: 1)一阶系统，
A(?)?11?(??)2 2) 一阶系统:当?=10时，
?(?)??arctan(??) 12A(?)?A(10)?1?(??)?11?(0.05*10)2?0.8944
?(?)??(10)??arctan(??)??arctan(10*0.05)??26.57o
A(?)?A(100)?11?(??)2?11?(0.05*100)2?0.1961当?=100时，
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