数学试卷

角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 12．（2019?浙江绍兴,第21题10分）九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．

（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．

（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．

（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．

备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．

考点：解 直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析：（ 1）根据∠α=2∠CDB即可得出答案； （2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度； （3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，CQ=x﹣0.2，根据得出x+3.8x﹣0.2=3，求出x即可． 解答：解 ：（1）∵BD=BC， ∴∠CDB=∠DCB， ∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°． （2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N， 过点E作EH⊥BF，垂足为点H， ∵MN∥AH，MN=1.9， ∴EH=2MN=3.8（米）， ∴E点离地面FB的高度是3.8米． （3）延长AE，交PB于点C， 设AE=x，则AC=x+3.8， ∵∠APB=45°， ∴PC=AC=x+3.8， ∵PQ=4， ∴CQ=x+3.8﹣4=x﹣0.2， =，数学试卷

∵tan∠AQC=∴==tan60°=， ， x=≈5.7， ∴AE≈5.7（米）． 答；旗杆AE的高度是5.7米． 点评：此 题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是仰角的定义，能作出辅助线借助仰角构造直角三角形是本题的关键． 13．（2019?重庆A,第20题7分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

考点： 解直角三角形．

分析： 根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．

解答： 解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD?tan∠BAD=12×=9， ∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5， ∴AC=

=

=13，

=，

数学试卷

∴sinC==．

点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

14．（2019?江西，第21题8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30度的夹角，示意图如图2所示。在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60度。

（1）连接CD、EB，猜想它们的位置关系并加以证明；

（2）求A、B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器） （参考数据：2=1.141,3=1.732,6=2.45） 【考点】 解直角三角形的应用；菱形的判定与性质．

【分析】 （1）连接DE．根据菱形的性质和角的和差关系可得∠CDE=∠BED=90°，再根据平行线的判定可得CD，EB的位置关系；

（2）根据菱形的性质可得BE，DE，再根据三角函数可得BD，AD，根据AB=BD+AD，即可求解．

【解答】

解：（1）CD∥EB．连接DE．

∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°，

∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠CDE=∠BED， ∴CD∥EB．

（2）连接AD、BD. ∵∠ACD= 90°，AC=DC， ∴∠DAC=∠ADC=45°。

同理可证，∠BDE=∠EBD=45°，∠CDE=90°， ∴∠ADB=∠ADB+∠BDE+ ∠CDE=180°， 即点A、D、B在同一直线上。

数学试卷

∵BE＝2OE＝2×10×cos30°＝103cm， ∴DE＝BE＝103cm， 在Rt△BED中， BD?BE2?DE2?(103)2?(103)2?106cm， 同理可得，AD=103 cm， ∴AB=BD+AD=203=20×2.45≈49cm．即A、B两点之间的距离大约为49cm． 【点评】 此题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质和平行线的判定，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是运用数学知识解决实际问题． 15．