数学试卷

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，及勾股定理的表达式，难度一般．

5. （2019?乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2

，求CE的长．

考点： 直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．. 分析： 利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长． 解答： 解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1， 在△ABH中，∠B=30°，AB=2， ∴cos30°=， ×=3， 即BH=ABcos30°=2∴BC=BH+BC=4， ∵CE⊥AB， ∴CE=BC=2． 点评： 此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键． 6. （2019?丽水，第22题10分）如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求FG的长；

（3）求tan∠FGD的值．

数学试卷

考点： 切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形． 分析： （1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OC，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线； （2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长； （3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG﹣BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH==，则tan∠FGD可求． 解答： （1）证明：连结OD，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°， 而OD=OB， ∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴BD=CD=6． 在Rt△CDF中，∠C=60°， ∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=3， ∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9， 在Rt△AFG中，∵∠A=60°， ∴FG=AF×sinA=9×=； （3）解：过D作DH⊥AB于H． ∵FG⊥AB，DH⊥AB， ∴FG∥DH， ∴∠FGD=∠GDH． 在Rt△BDH中，∠B=60°， ∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=3，DH=BH=3． 在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°， ∴AG=AF=， ∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=， 数学试卷

∴tan∠GDH===， ． ∴tan∠FGD=tan∠GDH= 点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识． 7．（2019?黑龙江哈尔滨,第24题6分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度； （2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

第1题图

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得

两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米； （2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长． 解答：解： （1）根据题意得：BD∥AE，

∴∠ADB=∠EAD=45°，

数学试卷

∵∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠ADB=45°， ∴BD=AB=60，

∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形， ∴AF=BD=DF=60，

在Rt△AFC中，∠FAC=30°， ∴CF=AF?tan∠FAC=60×

=20

，

又∵FD=60，

∴CD=60﹣20，

∴建筑物CD的高度为（60﹣20

）米．

点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破

点．

8 （2019?湖北黄冈,第23题7分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（

+1）海里，船C在船A的北

偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．

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（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：

≈1.41，

≈1.73）