A组题
??x′＝3x，
1．求双曲线C：x－＝1经过φ：?变换后所得曲线C′的焦点坐标．
64?2y′＝y?
2
y2
【解析】设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， 1?2
?x＝x′，y2将?3代入x－＝1，
64
??y＝2y′得
x′24y′2
9－
64
＝1，化简得x′2y′2
9－16
＝1，
即－＝1为曲线C′的方程． 916
可见仍是双曲线，则焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．
π?7π???2．已知直线l的极坐标方程为2ρsin?θ－?＝2，点A的极坐标为?22，?，4?4???求点A到直线l的距离．
π?7π???【解析】依题可知直线l：2ρsin?θ－?＝2和点A?22，?的直角坐标表示法为4?4???
x2y2
l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝
|2－（－2）＋1|52
＝. 22
21＋（－1）
3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
【解析】圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x＋y＝3x，
2
2
2
9?3?2
即?x－?＋y＝，
4?2?
直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.
13
3
|2×＋4×0＋a|
23
因为圆与直线相切，所以＝， 2222＋4解得a＝－3±35.
π?π?3??4．在极坐标系中，已知圆C经过点P?2，?，圆心为直线ρsin?θ－?＝－与4?3?2??极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．
π?3?【解析】在ρsin?θ－?＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，
3?2?所以圆C的圆心坐标为(1，0)． π??因为圆C经过点P?2，?， 4??所以圆C的半径PC＝
π22
（2）＋1－2×1×2cos ＝1，
4
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 则ρ＝2ρcos θ，∴x＋y＝2x， 故圆C的直角坐标方程为(x－1)＋y＝1.
π??5．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos?θ－?6??上的动点，求|PQ|的最大值．
【解析】将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程： ∵ρ＝12sin θ，∴ρ＝12ρsin θ，∴x＋y－12y＝0， 即x＋(y－6)＝36.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
14
将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程： π??∵ρ＝12cos?θ－?， 6??
ππ??2
∴ρ＝12ρ?cos θcos ＋sin θsin?，
66??∴x＋y－63x－6y＝0，∴(x－33)＋(y－3)＝36，
2
2
2
2
∴|PQ|max＝6＋6＋（33）＋3＝18.
6．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：y＝－3x＋5的距离最短，并求出点D的直角坐标．
【解析】(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ＝2ρsin θ. 因为ρ＝x＋y，ρsin θ＝y，
所以曲线C的直角坐标方程为x＋(y－1)＝1.
(2)因为曲线C：x＋(y－1)＝1是以C(0，1)为圆心、1为半径的圆，易知曲线C与直线l相离．
设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－3x＋5的距离最短， 所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－3x＋5平行． 即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，
2
2
2
2
2
2
2
2
22
即
y0－122
×(－3)＝－1，又x0＋(y0－1)＝1， x0
333(舍去)或x0＝，所以y0＝， 222
可得x0＝－
15
即点D的坐标为?
?33?
，?. ?22?
B组题
π??2
1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ－22ρcos?θ－?＝2.
4??(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 【解析】(1)由ρ＝2知ρ＝4，所以x＋y＝4. π??2
因为ρ－22ρcos?θ－?＝2，
4??
ππ??2
所以ρ－22ρ?cos θcos ＋sin θsin?＝2.
44
2
2
2
??
所以x＋y－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， π?2?即ρsin?θ＋?＝. 4?2?
2．在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的π
最小正角为，求：
3
(1)直线l的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．
22
【解析】(1)如图，由正弦定理得
16