因为a>1，所以a＝5－1.
【点评】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y222
y＝ρsin θ，ρ＝x＋y，tan θ＝(x≠0)．
x
(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意ρ，θ的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧． 考点3 极坐标方程的应用
例3在平面直角坐标系中，圆C的方程为：x2＋y2－23x－2y－1＝0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，过极点的直线l过点C.
(1)求圆C和直线l的极坐标方程；
π
(2)若直线l绕极点按逆时针方向旋转得l′，求l′被圆截得的弦长．
6【解析】(1)由x＋y－23x－2y－1＝0得
圆C的极坐标方程ρ－23ρcos θ－2ρsin θ－1＝0， 圆C的圆心C的直角坐标为(3，1)，
3π
，所以直线l的方程为θ＝(ρ∈R)， 36
2
2
2
tan θ＝
πππ
(2)由题意可知直线l′的方程为θ＝＋＝(ρ∈R)，
663π??π??设圆C与l′的交点为A?ρ1，?，B?ρ2，?， 3??3??
ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ－1＝0，??2
得：ρ－23ρ－1＝0， ?π
θ＝，?3?
则?
?ρ1＋ρ2＝23，
?ρ1ρ2＝－1，
9
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）－4ρ1ρ2＝4， 直线l′被圆截得的弦长为4.
【点评】(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
2
方法总结 【p167】
1．点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应．
ρ＝x＋y，???x＝ρcos θ，?
2．极坐标和直角坐标的互化公式是?或?这两组公式y?y＝ρsin θtan θ＝（x≠0）.??x?
必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρ时，方程增了一个n重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解．
3．极坐标方程的应用及求法
(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单．
(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题．
(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝．
(4)极坐标系内点的对称关系：①点P(ρ，θ)关于极点的对称点为P′(ρ，θ±π)；②点P(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点为P′(ρ，－θ)；③点P(ρ，θ)关于直线θ＝
ππ
的对称点为P′(ρ，π－θ)；④点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为24
n222
??P′?ρ，－θ?. ?
?
π
2
10
4．极坐标系下A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)间的距离公式|AB|＝
2
ρ21＋ρ2－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）.
走进高考 【p167】
1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【解析】(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)＋y＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线． 设y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且
2
2
2
l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2， |－k＋2|4所以＝2，故k＝－或k＝0. 23k＋1经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
4
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2， 所以|k＋2|
2
4
＝2，故k＝0或k＝.
3k＋1
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
11
4
当k＝时，l2与C2没有公共点．
34
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
3
2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹
C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
3??
【解析】(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
cos θ由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积
2
2
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
π????＝4cos α·?sin?α－??
3????π?3??
＝2?sin?2α－－? ??3?2???≤2＋3.
π
当α＝－时，S取得最大值2＋3.
12
12
考点集训 【p276】
12