(名师导学)2020版高考数学总复习 坐标系练习理(含解析)新人教A版选修4 - 4 下载本文

4.直线的极坐标方程

(1)特殊位置的直线的极坐标方程:

直线 过极点, 倾斜角 极坐标方程 θ=__α__(ρ∈R)或θ=__π+为α 图 形 α__(ρ∈R)(θ=α和θ=π+α(ρ≥0)) 过点(a,0), 与极轴垂直 __ρcos__θ__=a ?-π<θ<π? ?22??? ?π?过点?a,?, 2??与极轴平行 __ρsin__θ__=a (0<θ<π) (2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:

__ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0)__. 5.半径为r的圆的极坐标方程 (1)特殊位置的圆的极坐标方程:

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圆心 (0,0) 极坐标方程 ρ=__r__ 图 形 (0≤θ<2π) ρ=__2rcos__θ__ (r,0) ?-π<θ≤π? ?22????r,π? ??2??(0≤θ<π) ρ=2rsin θ (r,π) ρ=-2rcos θ ?π≤θ<3π? ?22????r,3π? ?2???(π≤θ<2π) ρ=-2rsin θ (2)一般位置圆的极坐标方程:若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的极坐标方程是ρ-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ0-r=0.

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2

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典例剖析 【p166】

考点1 平面直角坐标系下图形的伸缩变换

例1将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程;

(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极

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轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,

??x=x1,得? ?y=2y.1?

?y?由x+y=1得x+??=1,

?2?

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21

2

2

y

即曲线C的方程为x+=1.

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2

2

?x=cos t,?

故C的参数方程为?(t为参数).

?y=2sin t?

y???x2+=1,?x=1,??x=0,4?(2)由?解得或?

??y=0,y=2.????2x+y-2=0,

2

?1?所求直线的斜率为k=1,

不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为?,1?,

2?2?

1?1?于是所求直线方程为y-1=?x-?,

2?2?

化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 3

即ρ=. 4sin θ-2cos θ

【点评】(1)解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的P(x,y)与变换后的点P′(x′,y′)的坐标关系,利用方程思想求解.

(2)求交点坐标,得直线方程,最后化为极坐标方程,其实质是将x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入转化.

考点2 极坐标与直角坐标的互化

例2以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已

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π??知直线l的极坐标方程为ρcos?θ+?=3,曲线C的极坐标方程为ρ=4acos θ(a>1). 3??

(1)请分别写出直线l与曲线C的直角坐标方程;

(2)已知直线l与曲线C交于P,Q两点,设M(0,-23),且|PQ|=|MP|·|MQ|,求

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实数a的值.

π??【解析】(1)直线l的极坐标方程为ρcos?θ+?=3,

3??13

所以ρcos θ-ρsin θ=3,

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13

化为直角坐标方程x-y=3,即x-3y-6=0.

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曲线C的极坐标方程为ρ=4acos θ,所以ρ=4aρcos θ, 化为直角坐标方程x+y=4ax,即x+y-4ax=0. (2)因为点M(0,-23)在直线l上,

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2

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2

3

?x=?2t,

所以可取直线l的参数方程为?(t为参数).

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??y=-23+2t

设点P,Q分别对应参数t1,t2,则|MP|=|t1|,|MQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|, 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,并化简得t-23(1+a)t+12=0. 因为a>1,所以Δ=[23(1+a)]-4×12=12[(1+a)-4]>0. 且t1+t2=23(1+a),t1t2=12, 因为|PQ|=|MP|·|MQ|,

所以|t1-t2|=|t1t2|=t1t2,所以(t1+t2)-4t1t2=t1t2,即(t1+t2)=5t1t2, 则有(1+a)=5,得a=5-1或a=-1-5.

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