4．直线的极坐标方程
(1)特殊位置的直线的极坐标方程：
直线 过极点， 倾斜角 极坐标方程 θ＝__α__(ρ∈R)或θ＝__π＋为α 图 形 α__(ρ∈R)(θ＝α和θ＝π＋α(ρ≥0)) 过点(a，0)， 与极轴垂直 __ρcos__θ__＝a ?－π<θ<π? ?22??? ?π?过点?a，?， 2??与极轴平行 __ρsin__θ__＝a (0<θ<π) (2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：
__ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)__． 5．半径为r的圆的极坐标方程 (1)特殊位置的圆的极坐标方程：
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圆心 (0，0) 极坐标方程 ρ＝__r__ 图 形 (0≤θ<2π) ρ＝__2rcos__θ__ (r，0) ?－π<θ≤π? ?22????r，π? ??2??(0≤θ<π) ρ＝2rsin θ (r，π) ρ＝－2rcos θ ?π≤θ<3π? ?22????r，3π? ?2???(π≤θ<2π) ρ＝－2rsin θ (2)一般位置圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程是ρ－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r＝0.
2
2
2
典例剖析 【p166】
考点1 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
例1将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
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轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，
??x＝x1，得? ?y＝2y.1?
?y?由x＋y＝1得x＋??＝1，
?2?
21
21
2
2
y
即曲线C的方程为x＋＝1.
4
2
2
?x＝cos t，?
故C的参数方程为?(t为参数)．
?y＝2sin t?
y???x2＋＝1，?x＝1，??x＝0，4?(2)由?解得或?
??y＝0，y＝2.????2x＋y－2＝0，
2
?1?所求直线的斜率为k＝1，
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为?，1?，
2?2?
1?1?于是所求直线方程为y－1＝?x－?，
2?2?
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 3
即ρ＝. 4sin θ－2cos θ
【点评】(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．
(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入转化．
考点2 极坐标与直角坐标的互化
例2以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已
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π??知直线l的极坐标方程为ρcos?θ＋?＝3，曲线C的极坐标方程为ρ＝4acos θ(a>1)． 3??
(1)请分别写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C交于P，Q两点，设M(0，－23)，且|PQ|＝|MP|·|MQ|，求
2
实数a的值．
π??【解析】(1)直线l的极坐标方程为ρcos?θ＋?＝3，
3??13
所以ρcos θ－ρsin θ＝3，
22
13
化为直角坐标方程x－y＝3，即x－3y－6＝0.
22
曲线C的极坐标方程为ρ＝4acos θ，所以ρ＝4aρcos θ， 化为直角坐标方程x＋y＝4ax，即x＋y－4ax＝0. (2)因为点M(0，－23)在直线l上，
2
2
2
2
2
3
?x＝?2t，
所以可取直线l的参数方程为?(t为参数)．
1
??y＝－23＋2t
设点P，Q分别对应参数t1，t2，则|MP|＝|t1|，|MQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，并化简得t－23(1＋a)t＋12＝0. 因为a>1，所以Δ＝[23(1＋a)]－4×12＝12[(1＋a)－4]>0. 且t1＋t2＝23(1＋a)，t1t2＝12， 因为|PQ|＝|MP|·|MQ|，
所以|t1－t2|＝|t1t2|＝t1t2，所以(t1＋t2)－4t1t2＝t1t2，即(t1＋t2)＝5t1t2， 则有(1＋a)＝5，得a＝5－1或a＝－1－5.
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