(名师导学)2020版高考数学总复习 坐标系练习理(含解析)新人教A版选修4 - 4 下载本文

第十一章 坐标系与参数方程

知识体系 【p165】

第73讲 坐标系

夯实基础 【p165】

【学习目标】

1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程. 【基础检测】

1

1.在同一坐标系中,将曲线y=3sin 2x变为曲线y′=sin x′的伸缩变换是( ) x=2x′?x′=2x???A.?1B.?1

y=y′?y′=y?3?3?

??x=2x′??x′=2x?C.D.? ?y=3y′??y′=3y?

【解析】将曲线y=3sin 2x变为曲线y′=sin x′,横坐标变为原来的2倍,纵坐标x′=2x,??1

变为原来的倍,将曲线y=3sin 2x变为曲线y′=sin x′的伸缩变换是:?1

3y′=y.?3?

【答案】B

2.化极坐标方程ρcos θ-ρ=0为直角坐标方程为( )

2

A.x2+y2=0或y=1 B.x=1

C.x2+y2=0或x=1 D.y=1

【解析】由题得ρ(ρcos θ-1)=0,∴ρ=0或ρcos θ=1, ∴x+y=0或x=1. 【答案】C

2

2

3.圆ρ=r与圆ρ=2rsin?θ+?(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )

4??

?

π?A.2ρ(sin θ+cos θ)=r B.2ρ(sin θ+cos θ)=-r C.2ρ(sin θ+cos θ)=r D.2ρ(sin θ+cos θ)=-r

2

【解析】圆ρ=r的直角坐标方程为:x+y=r,

222

圆ρ=2rsin?θ+?(r>0)的直角坐标方程为x+y-2rx-2ry=0,

4??

∴圆ρ=r与圆ρ=2rsin?θ+?(r>0)的公共弦所在直线的方程为2x+2y=r,

4??即圆ρ=r与圆ρ=2rsin?θ+?(r>0)的公共弦所在直线的方程为2ρ(sin θ+4??

?

π?

22

?

π??

π?cos θ)=r.

【答案】C

4.若直线l的极坐标方程为ρcos?θ-?=32,曲线C:ρ=1上的点到直线l的

4??距离为d,则d的最大值为________.

【解析】直线的直角坐标方程为x+y-6=0,曲线C的方程为x+y=1,为圆;d的|0+0-6|

最大值为圆心到直线的距离加半径,即为dmax=+1=32+1.

2

【答案】32+1

5.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),

4曲线C1、曲线C2的交点为A,B,则弦AB的长为________.

2

2

2

2

2

?

π?π【解析】由ρ=x+y,tan θ=,将曲线C1与C2的极坐标方程转化为直角坐标方程为C1:x+y=6x,即(x-3)+y=9,故C1为圆心为(3,0),半径为3的圆,

2

2

2

2

yxC2:θ=,即y=x,表示过原点倾斜角为的直线,

π4π4

???y=x,?x1=0,??x2=3,

??由?2解得或所以|AB|=32. 2

?x+y=6x?y1=0?y2=3,???

【答案】32 【知识要点】

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

3

??x′=λx(λ>0)设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:__?__的

?y′=μy(μ>0)?

作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系与点的极坐标

在平面上取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.其中,点O称为极点,射线Ox称为极轴.

设M是平面上任意一点,ρ表示OM的长度,θ表示以射线Ox为始边、射线OM为终边所成的角.那么,有序数对__(ρ,θ)__称为点M的极坐标.显然,每一个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置.其中,ρ称为点M的__极径__,θ称为点M的__极角__.

由极径的意义可知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系,我们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角θ可取任意角.

3.坐标之间的互化

点的极坐标和直角坐标的互化

以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图).平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:

ρ=x+y????x=ρcos θ__?__,__?y(x≠0)__. ?y=ρsin θtan θ=??x?

通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取ρ≥0,0≤θ<2π.

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