第十一章 坐标系与参数方程
知识体系 【p165】
第73讲 坐标系
夯实基础 【p165】
【学习目标】
1．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程． 【基础检测】
1
1．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( ) x＝2x′?x′＝2x???A.?1B.?1
y＝y′?y′＝y?3?3?
??x＝2x′??x′＝2x?C.D.? ?y＝3y′??y′＝3y?
【解析】将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′，横坐标变为原来的2倍，纵坐标x′＝2x，??1
变为原来的倍，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是：?1
3y′＝y.?3?
【答案】B
2．化极坐标方程ρcos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
2
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
【解析】由题得ρ(ρcos θ－1)＝0，∴ρ＝0或ρcos θ＝1， ∴x＋y＝0或x＝1. 【答案】C
2
2
3．圆ρ＝r与圆ρ＝2rsin?θ＋?(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
4??
?
π?A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
2
【解析】圆ρ＝r的直角坐标方程为：x＋y＝r，
222
圆ρ＝2rsin?θ＋?(r＞0)的直角坐标方程为x＋y－2rx－2ry＝0，
4??
∴圆ρ＝r与圆ρ＝2rsin?θ＋?(r＞0)的公共弦所在直线的方程为2x＋2y＝r，
4??即圆ρ＝r与圆ρ＝2rsin?θ＋?(r＞0)的公共弦所在直线的方程为2ρ(sin θ＋4??
?
π?
22
?
π??
π?cos θ)＝r.
【答案】C
4．若直线l的极坐标方程为ρcos?θ－?＝32，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的
4??距离为d，则d的最大值为________．
【解析】直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x＋y＝1，为圆；d的|0＋0－6|
最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝32＋1.
2
【答案】32＋1
5．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
4曲线C1、曲线C2的交点为A，B，则弦AB的长为________．
2
2
2
2
2
?
π?π【解析】由ρ＝x＋y，tan θ＝，将曲线C1与C2的极坐标方程转化为直角坐标方程为C1：x＋y＝6x，即(x－3)＋y＝9，故C1为圆心为(3，0)，半径为3的圆，
2
2
2
2
yxC2：θ＝，即y＝x，表示过原点倾斜角为的直线，
π4π4
???y＝x，?x1＝0，??x2＝3，
??由?2解得或所以|AB|＝32. 2
?x＋y＝6x?y1＝0?y2＝3，???
【答案】32 【知识要点】
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
3
??x′＝λx（λ>0）设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：__?__的
?y′＝μy（μ>0）?
作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系与点的极坐标
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．
设M是平面上任意一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边、射线OM为终边所成的角．那么，有序数对__(ρ，θ)__称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的__极径__，θ称为点M的__极角__．
由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
3．坐标之间的互化
点的极坐标和直角坐标的互化
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
ρ＝x＋y????x＝ρcos θ__?__，__?y(x≠0)__． ?y＝ρsin θtan θ＝??x?
通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<2π.
2
2
2
4