（Ⅱ）证明：连接AB1，设AB1?A1B?E，连接DE．

根据棱柱的性质可知，E为AB1的中点， 因为D是AC的中点， 所以DE//B1C．

A

又因为DE?平面A1BD，

A1

B1 E D

B

C

C1

B1C?平面A1BD，

所以B1C//平面A1BD． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB的中点F，则DF//BC，

因为BC?AC，所以DF?AC， 又因为A1D?平面ABC， 所以DF,DC,DA1两两垂直．

以D为原点，分别以DF,DC,DA1为x,y,z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC?平面AAC11C, 所以BC?AC1．

又因为A1B?AC1，BC?A1B?B, 所以AC1?平面A1， 1BC，所以AC1?AC所以四边形AAC11C为菱形． 由已知AC?BC?2，

则A?0,?1,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，A10,0,3． 设平面A1AB的一个法向量为n??x,y,z?，

A F x D B C y z A1 B1 C1 ?????????????????y?3z?0,?n?AA1?0,因为AA1?0,1,3，AB??2,2,0?，所以????，即 ?????2x?2y?0.?n?AB?0,??设z?1，则n?

?3,?3,1．

9

?

再设平面A1BC的一个法向量为m??x1,y1,z1?，

???????????????y?3z1?0,??m?CA1?0,因为CA1?0,?1,3，CB??2,0,0?，所以?，即?1 ???????2x1?0. ?m?CB?0,??设z1?1，则m?0,3,1．

故cos?m,n????m?n?3?17??．

m?n77?2由图知，二面角A?A1B?C的平面角为锐角， 所以二面角A?A1B?C的余弦值为18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f?(x)?cosx?xsinx.k?f?()??7． …………14分 7π2π. …………3分 2（Ⅱ）设g(x)?f?(x)，g?(x)??sinx?(sinx?xcosx)??2sinx?xcosx.

当x?(0,1)时，g?(x)?0，则函数g(x)为减函数. 又因为g(0)?1?0，g(1)?cos1?sin1?0, 所以有且只有一个x0?(0,1)，使g(x0)?0成立.

所以函数g(x)在区间?0,1?内有且只有一个零点.即方程f?(x)?0在区间?0,1?内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数F(x)?xsinx?cosx?ax在区间?0,1?内有且只有一个极值点，由于

F?(x)?f(x)，x)?xcosxa?在区间?0,1?内有且只有一个零点x1，即f(且f(x)在x1两侧异号.

因为当x?(0,1)时，函数g(x)为减函数，所以在?0,x0?上，g(x)?g(x0)?0，即f?(x)?0成立，函数f(x)为增函数；

在(x0,1)上， g(x)?g(x0)?0，即f?(x)?0成立，函数f(x)为减函数, 则函数f(x)在x?x0处取得极大值f(x0).

10

当f(x0)?0时，虽然函数f(x)在区间?0,1?内有且只有一个零点x0，但f(x)在x0 两侧同号，不满足F(x)在区间?0,1?内有且只有一个极值点的要求.

，f(0)?a，显然f(1)?f(0). 由于f(1)?a?cos1若函数f(x)在区间?0,1?内有且只有一个零点x1，且f(x)在x1两侧异号， 则只需满足：

?f(0)?0,?a?0, 即???f(1)?0,?cos1?a?0,解得?cos1?a?0. ……………13分

19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ） F(0,1) ……………2分

2（Ⅱ）设P(x0,y0).由x?4y，得y?12x，则过点P的切线l的斜率为k?y?4x?x0?1x0. 2则过点P的切线l方程为y?11211x0x?x0).又点.令y?0，得xT?x0，即T(x0,02422P为抛物线上除顶点O外的动点，x0?0，则kTF??2.而由已知得MN?l，则x0kMN??2. x0又x0?0，即FT与MN不重合，

即FT?MN. …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN的方程为y??y?12x，x0?0.直线PF的方程为y?1?0x，x0x02?y??xN.........(1)?Nx0? x0?0.设MN和PF交点N的坐标为N(xN,yN)则??y?y0?1x?1..........(2)NN?x0?由（1）式得，x0??2xN（由于N不与原点重合，故yN?0）.代入（2），化简得yN 11

y0?2?yNyN2?(yN?1)2?1 （xN?0）. ?yN?0?.又x02?4y0，化简得,xN即点N在以F为圆心，1为半径的圆上.（原点与?0,2?除外）

即FN?1. …………14分 20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）M(P)=7； ………… 3分

21?i?j?n)共有Cn?（Ⅱ）形如和式ai+aj（n(n?1)n(n?1). 项，所以M(P)?22n?1（1?i?j?n,1?p?q?n)： 对于集合1,4,16,...,4中的和式ai+aj，ap+aq??当j?q时，i?p时，ai+aj?ap+aq；

j?当j?q时，不妨设j?q，则a+a?2a?42?a?a?a?a.

ijjj?1qpq11?i?j?n)的值两两不同. 所以ai+aj（且M(P)=n(n?1). ………… 8分 2（Ⅲ）不妨设a1?a2?a3?...?an，可得

?a1n+a?a+a?...??a a1+a2?a1+a3?...2nna1. n+1?i?j?n)中至少有2n?3个不同的数. ai+aj（ 即M(P)?2n?3.

??ai?j?n?an,(i?j?n) 设a1,a2,...,an成等差数列，ai+aj=???a1?ai?j?1,(i?j?n)，

1?i?j?n)，其值等于a1+ap（2?p?n）或aq+an 则对于每个和式ai+aj（(1?q?n?1)中的一个.去掉重复的一个a1?an,

所以对于这样的集合P,M(P)?2n?3.

则M(P)的最小值为2n?3. ……………13分

12