第一章第三节课题1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

【学习目标】

1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题. 【重点难点】

学习重点：柱、锥、台表面积、体积的计算公式。 学习难点：利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积。 【学习过程】 一、 自主预习

（预习教材P25~ P26，找出疑惑之处）

复习1：多面体的表面积就是___________________ 加上___________.

复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是r，圆台下底面的半径是r?，母线长都为l,则S圆柱?_______________________,

S圆锥?___________，S圆台?__________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V?Sh（S为底面面积，h为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？ 二、合作探究 归纳展示

新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为：V?Sh，（S为底面积，h为高）

锥体体积公式为：V?13Sh，（S为底面积，h为高）

台体体积公式为：V?13(S??S?S?S)h

（S?，S分别为上、下底面面积，h为高）

补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.

反思：思考下列问题

⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？

⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

例1 如图(1)所示，三棱锥的顶点为P，PA,PB,PC是它的三条侧棱,且PA,PB,PC分别是面PBC,PAC,PAB的垂线，又PA?2，PB?3,PC?4，求三棱锥P?ABC的体积V.

PC

变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥B??A?BC?的体积.

D?

B?

A?

D AB图(2)

小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.

例2 高12cm的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225?cm2,体积为2800cm3，求截得它的圆锥的体积.

变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.

小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解. ※ 动手试试

3练1. 在△ABC中,AB?2,BC?,?ABC?120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周，求所

2形成的旋转体的体积.

A

B

C?CC

练2. 直三棱柱高为6cm,底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.

三、讨论交流 点拨提升 师生点拨要点记载：

四、学能展示 课堂闯关

1. 圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（ ）.

A.6倍 B.9倍 C.12倍 D.16倍

2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为2,3,6，则它的体积为（ ）. A.23 B.32 C.6 D.4

3. 各棱长均为a的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）.

6332A.a B.a C.a D.a

36364. 一个斜棱柱的的体积是30cm3，和它等底等高的棱锥的体积为________.

5. 已知圆台两底面的半径分别为a,b(a?b),则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.

五、学后反思

1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握； 2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.

知识拓展 祖暅及祖暅原理

祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

【课后作业】：

2

1、正方体的全面积为24 cm，则它的体积是 （ ）

3333

A．4cm B．16cm C．64cm D．8cm

2、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（ ）

A．1:3 B．1:1 C．2:1 D．3:1

3、用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为 （ ）

824 B． C． D．8

???4、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三

A．

棱锥后 ，剩下的几何体的体积是 （ ）

2745 B． C． D． 36565、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体表面积及体积为：（ ）

A．

5 6 2232

A 24?cm，12?cm3 B 15?cm，12?cmC 24?cm，36?cm D 都不正确

36、Rt?ABC中，AB?3,BC?4,AC?5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为____________

7、已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________

8. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重10kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(?取3.14).

9. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1,h2,h3，则h1﹕h2﹕h3=?