2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

1．若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（ ） A．{﹣2} B．{1} C．{﹣2，1} 2．二项式A．6x4 B．﹣6x4

D．{﹣2，0，1}

的展开式的第二项是（ ） C．12x4 D．﹣12x4

则2x+y的最小值为（ ）

D．2

3．已知实数x，y满足A．11 B．3

C．4

4．圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（ ） A．4

B．3

C．2

D．0

5．已知{an}为无穷等比数列，且公比q＞1，记Sn为{an}的前n项和，则下面结论正确的是（ ） A．a3＞a2 B．a1+a2＞0 C．

是递增数列 D．Sn存在最小值

6．已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、

图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（ ）

A．① B．①② C．②③ D．①②③

8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，

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x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记Ti（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（ ）

A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数 B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数 C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数 D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为 ． 10．已知复数

，则|z|= ．

11．在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB= ． 12．已知函数f（x）=

，则

f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间

上存在零点，则正整数n= ．

13．在四边形ABCD中，AB=2．若14．已知椭圆G：

，则

= ．

的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个

端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题： ①点P的轨迹关于y轴对称；

②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个； ③|OP|的最小值为2，

其中，所有正确命题的序号是 ．

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三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数f（x）=sin2xcos

．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程； （Ⅱ）求f（x）在区间

上的最小值．

16．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．

（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？ （Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．

（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；

（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．

17．如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．

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（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；

（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；

（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求不存在，请说明理由．

的值；如果

18．已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等． （Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论． 19．已知函数f（x）=eax﹣x．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；

（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．

20．对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj﹣ai，i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*且m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，则称数列{an}具有性质P（t）．

（Ⅰ）若数列{an}满足否具有性质P（4）？

（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件； （Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是等差数列．

判断数列{an}是否具有性质P（2）？是

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