数学建模练习题

1.1.线性规划题目 问题1：毛坯切割问题

用长度为500厘米的材料，分别截成长度为98厘米和78厘米的两种毛坯，要求截出长度98厘米的毛坯1000根，78厘米的毛坯2000根，问怎样去截，才能是所用的原材料最少，试建立数学模型。 问题2：进货收获问题

某商店你制定某种商品7－12月的进货、售货计划，已知商品仓库最大容量为1500件，6月底已经库存300件，年底不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进和售出的价格如下表所示，若每件每月库存费为0.5元，问各月进货，售货多少件，才能是净收益最多。试建立数学模型。

月 7 8 9 10 11 12 买进（元/件） 28 26 25 27 24 23 售出（元/件） 29 27 26 28 25 25 注意：实际情况可能会更复杂一些，比如每月可能售出的数量是有一定限制，价格也会有波动等等。 问题3：货船装货问题

某货船的载重量为12000吨，总容积为45000立方米，冷藏容积为3000立方米，可燃性指数的总和不得超过7500，准备装6中货物，每种货物的单价、重量、体积和可燃性指数如下表：

货物 A1 A2 A3 A4 A5 A6 重量 体积 可然性 是否需 货物单价 要冷藏 （元/件） 要 不要 不要 要 不要 不要 50 100 150 200 250 200 （吨/件） （立方米/件） 指数 0.2 0.5 0.5 0.12 0.25 0.5 1.2 2.3 3.0 4.5 5.2 0.4 1 2 4 1 3 9 问每种货物应各装多少件，才能是所装货物的总价值最高。试建立数学模型。 1.2.微分方程题目

问题1. 什么时候开始下雪？

早晨开始下雪，整天稳降不停。正午一辆扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为一常数。到下午2时它清扫了两公里，到下午4时又清扫了1公里，问雪是什么时候开始下的？ 问题2. 谁喝的咖啡热一些？

总统与首相面前同时送上同温度的热咖啡。总统在送到咖啡后立即加上一点冷奶油，等了10分钟才喝；首相则等了10分钟后添加等量的冷奶油开始喝，问谁喝的咖啡热一些？ 问题3. 需冷却多久？

一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到185F，可他几乎总是忘记这一点而把水煮开。温度计又坏了，他要你计算一下，从212F冷却到185F要等多少时间，你能解决他的问题吗？ 问题4. 纽约的人口

o

o

o

如果不考虑移民与高杀人率，纽约城的人口将满足方程

dp11?p?p26dt2525?10，其中t以年度量。

(1)事实上，每年有6000人从该城迁出，又有4000人被杀，试修正上面方程。 (2)已知1970年纽约城人口为800万，求未来任何时刻的人口，且求t??时的极限。 问题5.开火的最优距离

A方反坦克导弹与B方坦克之间进行战斗。它们之间的起始距离是d，坦克以等速向反坦克导弹行驶。设反坦克导弹一次发射击毁坦克的概率是pA?t??0.6?0.05t，坦克一次反射击毁反坦克导弹的概率为pB?t??0.4?0.3t试确定双方最优的开火距离。 问题6. 三方军备竞赛的稳定性

设z是和平国家，x和y是好战国，则三国的军备x，y，z满足

?dx?dt??ax?ky?kz?g1??dy??kx?ay?kz?g2?dt?dz??az?g3??dt

试讨论x(t)，y(t)，z(t)的稳定性。 问题7. 正规军与游击队的作战

???x??ay???y??by?cxy方程组?是正规军对游击队的一个作战模型，其中y(t)是游击队，试求其轨线，哪方胜利？

问题8. 伦敦的传染病

二十世纪初，伦敦曾观察到一种现象：大约每两年爆发一次传染病，生物学专家H.E.Soper（索帕）认为，易受传染者人数因人口中增添新成员而不断得到补充，于是

?dS?dt???SI???dI???SI??I?dt，其中?,?,?是正的常数

（1）求奇点（2）奇点是源还是汇？（3）t??时每个解?S(t),I(t)?是否趋于奇点？（4）伦敦观察到的现象是一个时期的暂时现象还是永远要重现的呢？ 问题9. 卢梭的推论

现代哲学家卢梭(Jean-Jacques Rousseau)基于以下假设建立了18世纪的英国人口增长的一个简单模型： 伦敦市的出生率抵御英国农村的出生率 伦敦市的死亡率高于英国农村的死亡率

由于英国的工业化，越来越多的人从农村移居到伦敦。

由此卢梭推出，由于伦敦的出生率偏低，死亡率偏高，以及农村人口移居伦敦，因而英国的人口数量最终会变为零。请评价卢梭的这个结论。 问题10. 孤岛疾病

考虑在一个人口数量为N的孤岛上，有一种高传染性的疾病在蔓延。一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了这种疾病。请预测在某时刻t将会被感染的人数X。考虑一下模型，其中k>0为常数：

dX?kX?N?X?dt

(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？ (b) 画出dX/dt关于X的图形

(c) 若初始被感染的人数X1?N/2，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为X2?N/2，画出X关于t的图形。

(d) 把X作为t的函数，解出前面给出的模型。 (e) 由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。

(f) 设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表

天数t 被感染人数X Ln(X/(N-X))

2 1887 -0.5 6 4087 1.5 10 4853 3.5 问这些数据能否支持所给的模型？ (g) 利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。 问题11. 社会流传

社会学家发现了一种被称为社会流传的现象，指的是一条信息、一项技术创新或一种文化时尚在人群中的传播。这样的人群可以分为两类：一类接收到该信息，另一类没有。在一个人口数量已知的固定人群中，有理由假设流传率与已接收到信息的人数和待接受的人数的乘积成正比。若X表示N个人的居民中已接收到信息的人数，那么关于社会流传的数学模型为dX/dt?kX?N?X?，其中t表示时间，k是正常数。 (a) 解这个模型，并证明它的解十一条逻辑斯蒂曲线。 (b) 什么时候此信息传播最快？ (c) 最终会有多少人接受到信息？ 问题12. 杀虫剂的作用

1968年，从澳大利亚进入到美国的棉蚜虫几乎毁掉了美国的柑桔产业，为了缓解这种情况，一种来自澳大利亚的天然的捕食者——螵虫被引进了美国。螵虫使得棉蚜虫的数量减少到一个相对低的程度。当DDT的发明用来杀灭棉蚜虫后，农民们希望用它来消灭更多的棉蚜虫。但是DDT对螵虫也有致命的危害，结果是使用杀虫剂反而使得棉蚜虫的数量增加了。

改进Lotka-Volterra模型(捕食系统模型)，使得农民(继续)使用杀虫剂，造成捕食者和被捕食者的现有数量都以相同的比率减少时，该模型能够反映出这两种昆虫组成的捕食系统情况。考虑使用杀虫剂的影响，你能从中得到什么样的结论？用图形分析法来确定使用杀虫剂的作用。 问题13. 卫生球的挥发

卫生球原为1/4英寸，放了一个月后只有1/8英寸。假定它的挥发率正比于它的表面积，试求它的半径同时间的函数关系。再经过几个月后它会完全挥发掉？ 问题14. 盐入纯水

一水箱里有100加仑水纯水。从t=0时起有每加仑含1磅盐的盐水以每分钟1加仑的速率流入箱内，同时混合水(它在箱内经搅拌后为匀质的)以同样的速率流出箱外。什么时候箱内水里的溶盐量达到50磅？ 问题15. 盐水淡化

大水箱内装100加仑盐水，其中含盐200磅。从t＝0时起纯水以每分钟3加仑速率流入，混合水(它经搅动后是匀质的)以每分钟2加仑的速率流出。要用多长时间能把箱内含盐量减少到100磅？ 问题16. 雨水在足球上流淌的轨迹

一个长12英寸宽6英寸的椭球形的光滑足球在雨天放在室外场地上，求雨水从球侧面流下的路线。 问题17. 水漏完的时间

根据托里塞利定律（Torricelli’s Law），从开口水箱底部一小洞流出的水速等于从水面自由下落到小洞处的速度。有内径为R的半球形碗原来装满了水，t=0时在其底部穿一半径为r的小圆孔。问多久后碗内的水漏完？ 问题18. 水钟的形状

古代水钟是一个底部有小孔漏水的碗，在希腊和罗马的法庭里常用来计律师发言的时间以免他们说的太久。若要使水面匀速下降，碗应该做成什么形状？ 问题19. 圆锥的高度

两开口水箱从底部同样大的小孔同时漏完水，一个是正圆柱形的，另一个是锥顶朝下的正圆锥形的。若锥底面与圆柱底面相等而圆柱高为h，问锥高等于多少？ 问题20. 驱逐舰的路线

驱逐舰在浓雾中搜索潜水艇。雾一度散开，其时发现潜艇在3英里外的海面上，但潜艇立即下潜。驱逐舰速度二倍于潜艇，且已知潜艇下潜后立即以全速朝某一未知的方向直线行进。问驱逐舰应该采取什么路线才能保证它会直接开过潜艇的上方？（提示：取极坐标系，以发现潜艇处作为原点） 问题21. 虫子爬过的路线

边长为a的四方桌四角上放四个虫子。每个虫子同时以同样的速度爬向它右边那个虫子。若取桌心为原点，以其一对角线为极轴，试求从极轴上出发的那个虫子所爬过的路线，以及它同所有虫子在桌中心会合前所爬过的距离。

问题22. 链离开桌面的时间

有链长4尺放桌面上，开头有1尺挂在桌边以下。若桌面无摩擦力，问经过多久后链完全离开桌面？ 问题23. 串珠下滑的时间

设有铅直平面内的一个圆，从圆的最高点到圆周上较低点连以铁丝。若让串珠从最高点沿铁丝无阻地下滑，试证不管较低点在何处，它总以同一时间下滑到那里。 1.3.统计学题目 问题1：动物的种源分析

1982年法国统计学家布雷弗(Bréfort)曾利用多元对应分析方法，对犬的种源进行了比较详细的分析研究。在犬的饲养和繁殖过程中，人们常希望有选择地繁殖具有某些特定的体态和心理特征的犬，使它们能更好地适应某种需要(如陪伴、狞猎、守卫、救护、引导盲人或作为警犬等)。同时，希望它们的后代也能很好地保留这些品性。这就需要对现有犬的种源有较详细的认识。

布雷弗共选取27种最有代表性的犬，它们各自具有特定的生理和心理特征。例如，Chuhuahau体态玲珑，Levrier卧奔跑速度快，Berger能很好地服从命令，而Dobemann则有很强的攻击性。