ADA132DEBCGECFBF（第25题）②

（第25题）②解得图

⑶问题拓展：

1?DAB,试猜想当2∠B与∠D满足什么关系时.可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

如图③.在四边形ABCD中.AB=AD.E.F分别为DC,BC上的点.满足?EAF?ADEBFC（第25题）③

【答案】⑴EAF、△EAF、GF． ⑵DE+BF=EF.理由如下：

假设∠BAD的度数为m.将△ADE绕点A顺时针旋转m?得到△ABG.此时AB与AD重合.由旋转可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2.∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°. 因此.点G.B.F在同一条直线上． ∵∠EAF=

111m? ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=m??m??m?

2221m?． 2即∠GAF=∠EAF又AG=AE.AF=AF ∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF.

又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶当∠B与∠D互补时.可使得DE+BF=EF． 25、（2007南充）如图. 等腰梯形ABCD中.AB＝15.AD＝20.∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．

（1）设ND的长为x.用x表示出点N到AB的距离.并写出x的取值范围． （2）当五边形BCDNM面积最小时.请判断△AMN的形状．

∵∠1=∠2. ∴∠1+∠3=

B M A N C D

. .

B M A P N C D

………………（1分）

解：（1）过点N作BA的垂线NP.交BA的延长线于点P． 由已知.AM＝x.AN＝20－x．

∵ 四边形ABCD是等腰梯形.AB∥CD.∠D＝∠C＝30o. ∴ ∠PAN＝∠D＝30o． 在Rt△APN中.PN＝ANsin∠PAN＝即点N到AB的距离为

1（20－x）. 2

………………………………（3分）

1（20－x）． 2∵ 点N在AD上.0≤x≤20.点M在AB上.0≤x≤15.

∴ x的取值范围是 0≤x≤15． ………………………………（4分） （2）根据（1）.S△AMN＝∵ ?111AM?NP＝x（20－x）＝?x2?5x． 244……（5分）

1＜0.∴ 当x＝10时.S△AMN有最大值． 4…………………………（6分）

又∵ S五边形BCDNM＝S梯形－S△AMN.且S梯形为定值.

∴ 当x＝10时.S五边形BCDNM有最小值． …………………………（7分） 当x＝10时.即ND＝AM＝10.AN＝AD－ND＝10.即AM＝AN．

则当五边形BCDNM面积最小时.△AMN为等腰三角形． …………（8分）

26、（2007福建晋江）如图.四边形ABCD为矩形.AB＝4.AD＝3.动点M、N分别从D、B同时出发.以1个单位/秒的速度运动.点M沿DA向终点A运动.点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC.交AC于点P.连结MP。已知动点运动了x秒。⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）⑵若0秒≤x≤1秒.试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式.利用函数图象.求S的最大值。⑶若0秒≤x≤3秒.△MPA能否为一个等腰三角形？若能.试求出所有

x的对应值；若不能.试说明理由。

D M A

P

B N C

. .

12?4x12?4x；⑵延长NP交AD于点Q.则PQ⊥AD.由⑴得：PN＝. 3312?4x4则PQ?QN?PN?4??x。依题意.可得：AM?3?x

3311422233S??AM?PQ??(3?x)?x?2x?x2??(x2?3x)??(x?)2?

22333322解：⑴∵0≤x≤1.5

即函数图象在对称轴的左侧.函数值S随着x的增大而增大。 ∴当x?1时.S有最大值 .S最大值＝⑶△MPA能成为等腰三角形. 共有三种情况.以下分类说明： ①若PM＝PA.

∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝x

又DM＋MQ＋QA＝AD ∴3x?3.即x?1 ②若MP＝MA.则MQ＝3?2x.PQ＝

1 O 1 2 3 4 x y x=1.5 4。 32 4x.MP＝MA＝3?x 3222在Rt△PMQ中.由勾股定理得：MP?MQ?PQ

54（x?0不合题意.舍去） 43559③若AP＝AM.由题意可得：AP?x.AM＝3?x∴x?3?x.解得：x?

338549综上所述.当x?1.或x?.或x?时.△MPA是等腰三角形

438∴(3?x)2?(3?2x)2?(x)2.解得：x?43

. .