综合性问题

一、选择题

1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（

﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ）

A．5

B．4

C．3

D．2

【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP=

=

x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰

=

，从而得出a与x的关系即可判断．

直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°，

∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°，

由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵

，

∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确；

∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP=设EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x，

△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，

∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴

=

，即=

2

=x，

， ﹣1）ax， ﹣1）a，即AF=（

﹣1）EF，故⑤正确；

整理，得：2x=（由x≠0得2x=（故选：B．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．

2． （2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发

沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）

2

A． B． C． D．

【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．

【解答】解：当0≤t＜2时，S=2t×当2≤t＜4时，S=4×

×（4﹣t）=﹣

t+8

；

t+4

2

t；

×（4﹣t）=﹣2

只有选项D的图形符合． 故选：D．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．

3. （2018?安徽?4分） 如图，直线

都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对

角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于

之间分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】【分析】由已知易得AC=2，∠ACD=45°，分0≤x≤1、1

【详解】由正方形的性质，已知正方形ABCD的边长为如图，当0≤x≤1时，y=2

，

，易得正方形的对角线AC=2，∠ACD=45°，

如图，当1

如图，当2

综上，只有选项A符合， 故选A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及到正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，结合图形正确分类是解题的关键.

4. （2018·浙江舟山·3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，

BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。则该方程的一个正根是（ ）

A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长