初升高第5讲——函数的奇偶性

姓名__________

题型一：判断函数奇偶性

.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)?f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 例1判断下列函数的奇偶性：

1⑴ y?；

x⑵ y?x4?x2?2；

⑶ y?x3?x； ⑷ y?x3?1．

例2判断下列根式函数的奇偶性并说明理由： （1）f(x)?(x?1)1?x 1?x（2） f(x)?x?1?1?x；

（3）f(x)=

x2?1?x-1x?1?x+12

例3设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．f(x)+|g(x)|是偶函数 B．f(x)-|g(x)|是奇函数 C．|f(x)| +g(x)是偶函数 D．|f(x)|- g(x)是奇函数 【变式训练】

1判断下列函数的奇偶性：

⑴f(x)?x4； ⑵f(x)?x5； ⑶f(x)?x?

2判别下列函数的奇偶性：

（1）f(x)?x2?5|x|； （2）f(x)?|x?1|?|x?1|；（3）f(x)?x2?x3.

11； ⑷f(x)?2． xx3判断函数f(x)=

x2?1?x-1x?1?x+12的奇偶性．

4若函数f(x) （x?R）是奇函数，函数g(x) （x?R）是偶函数，则（ ） A．函数f[g(x)]是奇函数 B．函数g[f(x)]是奇函数

来源学科网ZXXK]

C．函数f(x)g(x)是奇函数 D．函数f(x)+g(x)是奇函数

题型二：利用函数奇偶性可求函数解析式．

例1设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，f(x)=___________________

2例2已知偶函数f(x)的定义域为R，当x≥0时，f(x)=x?3x-1，求f(x)的解析式．

例3已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x?0时f(x)?x(1?x)．求函数f(x)的解析式．

例4已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数并且f(x)?g(x)?x?1，则求f(x)与g(x)的表达式．

【变式训练】

1已知f(x)是偶函数，x?0时，f(x)??2x2?4x，求x?0时f(x)的解析式是___________

2已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x?0时，f(x)?x2?x?2，求f(x)的解析式.

3已知f(x)是定义在R上的奇函数. 当x?0时，f(x)?x2?4x，则不等式f(x)?x的解集用区间表示为______________________

ax2?1(a,b,c?Z)是奇函数,且f(1)?2,f(2)?3,求a,b,c的值. 4已知函数f(x)?bx?c

5已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)?g(x)?

6

已知定义在

R

上的奇函数

1，求f(x)、g(x)． x?1f?x?和偶函数g?x?满足

f?x??g?x??ax?a?x?2?a?0,且a?1?，若g?2??a，则f?2??

A. 2 B.

题型三 利用函数奇偶性求函数值

17152 C. D. a

44a?2x?a?2例1 已知函数f(x)?2x?1(x?R)是奇函数，则a的值为____________

例2已知f(x)为奇函数，g(x)?f(x)?9,g(?2)?3,则f(2)? ． 例3

⑴ 若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=__________；

⑵若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)?2，且对一切实数x都有f(x?4)?f(x)则

f(25)=__________；

⑶设函数y?f(x)(x?R且x?0）对任意非零实数x1,x2满足f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，则函

数y?f(x)是___________（指明函数的奇偶性）

?)例4函数f(x)在R上有定义，且满足①f(x)是偶函数；②f(0)?2005；③g(x)?f(x1是

奇函数；求f(2005)的值．

【变式训练】 1若函数f(x)?x为奇函数，则a= _____________________

(2x?1)(x?a)2已知y?f(x)是奇函数，若g(x)?f(x)?2且g(1)?1，则g(?1)? 3已知f（x）?x2?ax3?bx?8且f(?2)?10,.求f(2).

4已知函数f(x)??2x3?x．若x1、x2、x3?R且x1?x2?0，x2?x3?0，x3?x1?0．则f(x1)?f(x2)?f(x3)（ ）．

A．大于零 B．小于零

C．等于零 D．大于零或小于零

x3?|x|?2x2?x5设函数f(x)?的最大值为M，最小值为m，则M与m满足（ ）．

2x2?|x|A．M?m?2 B．M?m?4 C．M?m?2 D．M?m?4

课后作业练习

1．已知函数f（x）＝ax＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax＋bx＋cx（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2．已知函数f（x）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（ ） A．a?22

3

2

1，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，32

b＝0

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x－2x，则f（x）在R上的表达式是（ ）

A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1） C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x＋ax＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ） A．－26 B．－18 C．－10 D．10 5．函数f(x)?5

3

?x?1是（

21?x?x?11?x2 ）

A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

6．若?(x)，g（x）都是奇函数，f(x)?a??bg(x)?2在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（ ）

A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3 7．函数f(x)?x?2?21?x2

2的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．

8．若y＝（m－1）x＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________． 9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)?g(x)?为_______．

10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．

11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

11.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x＋2x—1，求f（x）在R上的表达式．

12.f（x）是定义在（－∞，－5］?［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

3

2

1x?1，则f（x）的解析式