→?22?

(2)由(1)知AM＝?－，－，1?，

2?2?∵D(2，0,0)，F(2，2，1)， →

∴DF＝(0，2，1) →→

∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF.

又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

13．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、

PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． (1)证明 如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、

z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、

?a?P(0,0，?aaa?B(a，a,0)、C(0，a,0)、E?a，，0?、a)、F?，，?.

?

2

??222?

→

a?→?aEF＝?－，0，?，DC＝(0，a,0)．

?22?

→→→→

∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD.

→?aaa?(2)解 设G(x,0，z)，则FG＝?x－，－，z－?，

22??2若使GF⊥平面PCB，则由 →

→?aaa?a?a?FG·CB＝?x－，－，z－?·(a,0,0)＝a?x－?＝0，得x＝；

?

22

2??2?

2

→→?aaa?由FG·CP＝?x－，－，z－?·(0，－a，a)

22??2＝＋a?z－?＝0，

2?2?得z＝0.

a2

?

a???∴G点坐标为?，0，0?，即G点为AD的中点．

?2?

14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，

aAD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

5

解 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，

E(2,4,0)，

P(0,0，h)．

→→→

(1)易知CD＝(－4,2,0)，AE＝(2,4,0)，AP＝(0,0，h)．

→→→→

因为CD·AE＝－8＋8＋0＝0，CD·AP＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

→→

(2)由题设和(1)知，CD·PA分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所→→→→

成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈CD，PB〉|＝|cos〈PA，PB〉|， →??→→??→CD·PB?＝?PA·PB?. 即?→??→→??→

?|CD|·|PB|??|PA|·|PB|?

→→

由(1)知，CD＝(－4,2,0)，PA＝(0,0，－h)， →

又PB＝(4,0，－h)，

?－16＋0＋0??0＋0＋h?故?2?＝?2?. ?25×16＋h??h×16＋h?

85

解得h＝.

5

1

又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，

2

11851285

所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.

33515

2

6