。 。 。 第7讲 立体几何中的向量方法（一）

一、选择题

1．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2) D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直． 答案 B

35?15???2．已知a＝?1，－，?，b＝?－3，λ，－?满足a∥b，则λ等于( )． 22?2???2992

A. B. C．－ D．－ 322335

2219

解析 由＝＝，可知λ＝.

－3λ152

－2

－

答案 B

3．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是

( )．

?1?A.?，－1，－1? ?2?

C．(4,2,2)

B．(6，－2，－2)

D．(－1,1,4)

→→→→→→

解析 设平面α的法向量为n，则n⊥AB，n⊥AC，n⊥BC，所有与AB(或AC、BC)平行的→→

向量或可用AB与AC线性表示的向量都与n垂直，故选D. 答案 D

4．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面

BED的距离为

A．2

( )．

C.2

D．1

B.3

解析 连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，因为AB＝2，所以AC＝22，又CC1＝22，所以OH＝2

1

sin 45°＝1. 答案 D

5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5， λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )．

62636065A. B. C. D. 7777解析 由题意得c＝ta＋μb ＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，

?

∴?5＝－t＋4μ，??λ＝3t－2μ

?7＝2t－μ

B.

??17

∴?μ＝

765?λ＝?7

t＝

337

C.

.

答案 D

→1→→

6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为

2 A.

( )．

D.

15a 3

21a 66a 615a 6

解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N?a，a，?.

2??

设M(x，y，z)，

→1→

∵点M在AC1上且AM＝MC1，

2

1

∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)

22aa∴x＝a，y＝，z＝.

333

?

a??2aaa?得M?，，?， ?333?

→∴|MN|＝ 答案 A 二、填空题

?a－2a?2＋?a－a?2＋?a－a?2＝21a. ?3??3??23?6??????

2

8

7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.

98a·b2－λ＋4

解析 由已知得＝＝， 2

9|a||b|5＋λ·922∴85＋λ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 552

答案 －2或 55

8．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．

解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离． ∵PA＝PB＝PC， ∴H为△ABC的外心． 又∵△ABC为正三角形，

??∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为?，，?.

?333?

∴PH＝

aaa?0－a?2＋?0－a?2＋?0－a?2＝3a. ?3??3??3?3??????

3

a. 3

∴点P到平面ABC的距离为答案

3a 3

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.

解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是s＝±?0，

??22?，－?. 22?

答案 ±?0，

??22?，－? 22?

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则→→

满足MQ＝λMN的实数λ的有____________个．

3

解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，

y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为?

?x＋1，y＋1，1?，

?2?2?

又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴

xQ＋yQ＝3，

∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ. 答案 2 三、解答题

11．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

a，b，c.

解 因为a∥b，所以

41

＝＝， －2y－1

x解得x＝2，y＝－4，

这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又因为b⊥c，

所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．

12．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF.

证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE. 则N?2??2

，，0?，E(0,0,1)， 2?2?

2?2?

，，1? 2?2?

A(2，2，0)，M?

→?22?

∴NE＝?－，－，1?.

2?2?→

AM＝?－?

?22?，－，1?. 22?

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE.

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